韦达定理及其应用
【知识要点】
1.若一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?中，两根为x1，x2。则x1?x2??2b，ax1?x2?c?，；补充公式x1?x2? aa2（1）方程说出下列方程的两根和与两根积：
22①x?3x?10?0 ②3x?5x?1?0 ③2x?43x?22?0
2
（2）已知x=1是方程x+bx-2=0的一个根，则方程的另一个根是 2. .已知方程的两根x1，x2 ，求作一个新的一元二次方程x –(x1+x2) x+ x1·x2 =0
（1）于x的一元二次方程x+px+q=0的两根分别为x1＝3、x2＝1，那么这个一元二次方程 是 （2）关于x的一元二次方程x＋bx＋c＝0的两个实数根分别为1和2，则b＝____；c＝______
【知识应用】 一．求代数式的值
例1：.若a,b是方程x+3x+1=0的两个实数根。求
变1：a,b满足a+3a+1=0, b+3b+1=0. 求
2
2
2
22
2
ba?的值。 abba?的值 ab
2222
变2：若a+3a+1=0, b+3b+1=0且a≠b,求a+ b的值。
练1、已知方程2x?3x?1?0的两根是x1,x2，不解方程，求下列各式的值。 （1）
1
21122? （2）x1?x2 (3)(x1?5)(x2?5) x1x2
2..已知关于x的方程x?(5k?1)x?k?2?0，是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k的值；若不存在，说明理由。
二．研究方程根的情况
2
例2：已知关于x的方程x+2mx+m+2=0,求:
(1)m为何值时,?方程的两个根一个大于0,另一个小于0; (2)m为何值时,方程的两个根都是正数;
(3)m为何值时,?方程的两个根一个大于1,另一个小于1.
练：1.在关于x的方程4x??m?1?x??m?7??0中，（1）当两根互为相反数时m的值；
222（2）当一根为零时m的值；（3）当两根互为倒数时m的值
2
2.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4x+4(m-1)x+m2=0?的两个非零实数根,问x1与x2能否同号?若能同号,求出相应的m的取值范围;?若不能同号,请说明理由.
【知识拓展】
1．若关于x的一元二次方程2x2+5x+k=0 的一根是另一根的4倍，则k= ________ 2．已知：a,b是一元二次方程x+2000x+1=0的两个根，求：（1+2006a+a)（1+2005b+b) = __________
2
2
2
2
3.x?mx?12?0的两实根是x1和x2，方程x?mx?n?0的两实根是x1?7和
22x2?7，求m和n的值。
4． x1,x2是方程3x-mx-2=0的两个根,且
2
1133+=3,求x1?x2的值 x1x2
2
5.已知:等腰三角形的两条边a,b是方程x-（k+2）x+2 k =0的两个实数根,另一条边c=1， 求:k的值。
2
6.求一个一元二次方程,使它的两根分别比方程3x+2x-3=0的两个根的平方多1.
7．已知一元二次方程ax?2bx?c?0的两个实数根满足x1?x2?22，a，b，c分
别是?ABC的?A，?B，?C的对边。（1）证明方程的两个根都是正根；（2）若a?c，求?B的度数。
228.已知x1,x2是方程x-2(k-2)x+(k+3k+5)=0(k为实数)的两实根,求x1?x2的最小值.
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2
2
9.设一元二次方程x+2ax+6-a=0的根满足下列条件，求a的范围。
（1）两根均大于1 （2）一根大于1，另一根小于1
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