第五章 静电场
通过复习后，应该:
1.掌握电场强度、场强叠加原理、电势和电势差、场强与电势的关系、电势叠加原理、电偶极子的电势;
2.理解电场线和电通量、高斯定理及其应用、有导体存在时静电场的计算、电介质极化、能斯特方程、电容器、静电场的能量;
3.了解电偶层的电势、细胞膜静息电位、心电图和心向量图的电学原理。
5-1 点电荷q和4q相距l，试问在什么地方放置什么样的电荷，可使这三个电荷达到受力平衡
解：已知两个同号点电荷q与4q相距l，在它们之间的连线上某处放置一个异号电荷，当它们满足一定的条件时，即可达到力的平衡。设这个异号电荷的电量为mq，与q相距x，如本题附图所示。根据库仑定律F?k力相等，即
x l－x q1q2，分析力的平衡条件，电荷mq分别与q、4q的引2rmq24mq2 (a) k2?kx(l?x)2＋q mq ＋4q
电荷q受4q的斥力和mq的引力相等，即 习题5-1附图
4q2mq2k2?k2 (b) lx解（a）式得x=l /3，将其代入（b）式可得m=4/9。
从上面的计算结果可知，在q与4q之间，与电荷q相距l/3处，放置一个4/9q的异号电荷，可使三个电荷达到受力平衡。
5-2 两个点电荷分别带有+10C和+40C的电量，相距40cm，求场强为零的点的位置及该点处的电势。
解: ①求场强为零的位置: 只有在两电荷的连线中的某点P，才能使该处场强为零，即q1 、q2 在该点的场强E1、E2大小相等，方向相反，已知q1 =10C，q2 =40C，则根据点电荷
r r 场强公式E?kq2，有 kq1?kq2
22rr1r212由上式可得 r1?r2q1101 习题5-2附图 ??q2402-2
＋q1
E2 P E1
＋q2
又因r1 + r2 =40cm，由此可得r1 =40/3cm=40/3×10 m； r2 =80/3cm=80/3×10 m
②求电势: 设q1 、q2 在P点产生的电势分别为U1 、U2，P点电势U为U1 、U2 之和，
-2
1040即 U?U1?U2?kq1?kq2?9.0?109(?)V?2.03?1012V 4080r1r2?10?2?10?233
-6-6
5-3 两等值异号点电荷相距2.0m，q1 =×10 C，q2 =×10 C。求在两点电荷连线上电势为零的点的位置及该点处的场强。
解: ①求电势为零的位置:设q1、q2 连线上P点处电势为零，该点电势为q1、q2 分别产
r1 E1 ＋q1 P r2
E2
－q2
生的电势U1、U2 之代数和，由点电荷电场的电势
qU?k得 UP?U1?U2?kq1?kq2?0
rr1r2习题5-3附图 从上式可得 r1??q1?1
r2q2又r1 + r2 =2.0m，则r1 = r2 =1.0m，即电势为零的位置处于两点电荷连线的中点。
②求场强:设q1、q2 在P处产生的场强分别为E1、E2，它们的方向一致，故P点的场强为E1和E2的大小之和，方向由P指向q2
q2q18.0?10?68.0?10?69E?E1?E2?k2?k2?9.0?10?(?)N?C?1 1.01.0r1r2?1.44?105N?C?1
5-4 在一个边长为a的正三角形的三个顶点放有量值相等的电荷Q，在以下两种情况下，
求三角形重心处的场强和电势：①三个顶点都带正电荷;②两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷。
Y Y ＋Q －Q r E1 r ＋Q r a a E1 X ＋Q r E2 E2 E3 E3 r 30° r 30° X ＋Q 习题5-4 附图（a） 习题5-4 附图（b）
解: 根据场强的叠加原理，可分别求出三个点电荷在重心的场强，再求出它们的矢量和。电势为标量，只需求出它们的代数和。
①当三个都为正电荷时，按附图（a）取坐标，坐标原点O为三角形的重心，已知等边三角形的边长为a，则其重心到三个顶点的距离r可由三角函数求出
r?a13 ??a2cos3003由点电荷场强公式E?Q可得，三个点电荷在重心O的场强相等，即
4??0r2E1?E2?E3?Q4??0r2?3Q （a） 24??0a方向如附图所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey 和Ex ，则由附图（a）可得
Ey =E2 cos60°+ E3 cos60°－E1 = ? E2 + ? E3 －E1 =0 Ex =E2 sin60°－E3 sin60°=0 （因为E2 =E3 ） 故重心处的合场强E=0。
由点电荷的电势公式U?3可得 Q和r?a34??0rU1?U2?U3?根据电势叠加原理，重心处的电势U为
3Q
4??0aU?U1?U2?U3?33Q
4??0a②当两个顶点带正电荷，一个顶点带负电荷时，按本题附图（b）取坐标。参考前面的（a）式，由点电荷电场强度公式可得
E1?E2?E3?3Q 24??0a方向如附图（b）所示。设重心处的场强E在Y方向和X方向的分量分别为Ey和Ex，则由附图（b）可得
Ey = E1 + E2 cos60°+ E3 cos60°= E1+ ? E2 + ? E3 =2 E1 =Ex =E2 sin60°－E3 sin60°=0 （因为E2 =E3 ）
故重心处的场强E的大小为
3Q
2??0a2E?Ey?3Q
2??0a2其方向垂直向上。
由点电荷电势公式可得三个点电荷在重心的电势分别为
U??Q3Q3Q， U2?U3?? ??4??0r4??0a4??0a根据电势叠加原理，重心处的电势为
U?U1?U2?U3?
3Q
4??0a5-5 均匀带电直线长2a，其线电荷密度为λ，求在带电直线垂直平分线上，且与带电直线相距为a的点的场强和电势。
解: ①求场强：以带电直线为坐标轴，取直线中点为原点O，在直线上距O点 x处取一线元dx，如本题附图所示，其电量dq=λdx，此电荷元在所求点P处产生的场强为
dE?kdq?dx?k （a） 222r(a?x)其方向沿dq与P点连线（图中为λ>0时的情况，若λ<0，则反向），与X轴线夹角为θ。
dE⊥ dE 由于对称性，各电荷元的场强沿X轴的分量dE∥ 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE⊥互相增强，因此
P θ dE∥ E??dE???dEsin? （b）
LLr θ －a a aasin???221/2，由附图可知，将（a）式和sinθr(a?x)λdx O a X 的表达式代入（b）式得E的大小为 习题5-5附图
E?k?a?dx2? ?k?a(a2?x2)3/2aa其方向垂直向上。
②求电势:由点电荷电势公式可得，dq在P点产生的电势dU为
dU?k将上式积分可得P点电势
dq?dx?k2 21/2r(a?x)U??dU?k??
dx?k?ln(3?22)
?a(a2?x2)1/2a-9
5-6 均匀带电圆环，其半径为5cm，总电量为×10 C，计算轴线上离环心5cm处的场强和电势。
解：本题先求电势，然后利用场强和电势的关系计算场dl r 强。
R P ①求电势：参考本题附图，设圆环总量为q，半径为R，
O x dU X 由于电荷是均匀分布，故其线电荷密度η=q/2πR。在圆环上
取一线元dl，其电量为
dq???dl?q?dl （a） 习题5-6 附图 2?R设P点离环心O的距离为x，则由附图知，r?为
R2?x2，电荷元dq在P点产生的电势dU
dU?kdqqdl?k （b） 221/2r2?R(R?x)将上式积分，可得P点的电势为
qU??dU?k2?R(R2?x2)1/2-9
?2?R0dl?kq （c）
(R2?x2)1/2已知R=5cm=0.05m，q=×10 C，x=5cm=0.05m，代入上式得
U?9.0?109?5.0?10?9(0.052?0.05)122V?6.36?102V
②求场强:根据场强与电势的关系E=－dU/dn，对（c）式求关于x的导数，则场强E的大小为
9dUqx95.0?10?0.05E???k2?9.0?10V?m?1?6.36?103V?m?1 23/23dx(R?x)(0.052?0.052)2方向沿X轴正方向。
dE∥ 互相抵消，而垂直于X轴的分量dE⊥互相增强，因此
5-7 均匀带电的半圆弧，半径为R，带有正电荷q，求圆心处的场强和电势。
解: ①求场强：在环上取一线元dl，带电量dq=qπRdl，电荷元在圆心产生的场强大小为
dE?kdqq?kdl r2?R3方向如附图所示，与OX轴夹角为θ，dl=Rdθ。由于对称性，dE∥互相抵消，dE⊥相互增强，
于是有
E??dE???dEsin?
LL将dE的表达式及dl=Rdθ代入，经整理后得场强E的大小为
dl L qE?k3?R??0Rsin?d??2kq ?R2R θ dE∥ X dE⊥ dE 其方向垂直向下。
②求电势: 电荷元dq在圆心产生的电势dU为
O dqqdU?k?k2dl 习题5-7附图
r?R将上式积分即得圆心处的电势
qU??dU?k2?R??R0dl?kq R
5-8 长度为L的直线段上均匀分布有正电荷，电荷线密度为λ，求该直线的延长线上，且与线段较近一端的距离为d处的场强和电势。
解: ①求场强:在直线段l处取一线元dl，其带电量为dq=λdl，它在P处产生的场强方向沿直线的延长线，大小为
l r P O dl dE?kdq?dl?k 22r(L?d?l)L d X 将上式积分，即得P点场强的大小为 习题5-8附图
E??dE?k??L0dl11k?L?k?(?)?
dL?dd(L?d)(L?d?l)2方向沿X轴正方向。
②求电势:由点电荷电势公式可知，电荷dq在P点产生的电势dU为
dU?kdq??kdl r(L?d?l)
医用物理学陈仲本第五章课后习题答案
