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高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版

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[第5讲 函数的单调性与最值]

(时间:45分钟 分值:100分)

基础热身

1.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是( )

1

A.f(x)=

xB.f(x)=(x-1)

xC.f(x)=e

D.f(x)=ln(x+1)

1

2.函数f(x)=1-在[3,4)上( )

2

xA.有最小值无最大值 B.有最大值无最小值 C.既有最大值又有最小值 D.最大值和最小值皆不存在

3.[2013·天津卷] 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) A.y=cos2x,x∈R

B.y=log2|x|,x∈R且x≠0

x-xe-eC.y=,x∈R

23

D.y=x+1,x∈R 4.函数f(x)=

xx+1

的最大值为________.

能力提升 5.[2013·宁波模拟] 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在(1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=( )

A.{x|x≤0或1≤x≤4} B.{x|0≤x≤4} C.{x|x≤4} D.{x|0≤x≤1或x≥4}

6.[2013·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),?5?则f?-?=( ) ?2?

11A.- B.- 2411C. D. 42

1

1

1?x2?7.[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y=???2?

?1?A.(-∞,1) B.?,1? ?2?

?1??1?C.?,1? D.?,+∞? ?2??2?

x+1

的值域为( )

8.[2013·惠州二调] 已知函数f(x)=e-1,g(x)=-x+4x-3,若有f(a)=g(b),则b的取值范围为( )

A.(2-2,2+2) B.[2-2,2+2] C.[1,3] D.(1,3)

x??a(x<0),

9.[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f(x)=?满足对任

?(a-3)x+4a(x≥0)?

f(x1)-f(x2)

意的实数x1≠x2都有<0成立,则实数a的取值范围是( )

x1-x2

A.(3,+∞) B.(0,1) ?1?C.?0,? D.(1,3) ?4?

1?1?10.若函数y=f(x)的值域是?,3?,则函数F(x)=f(x)+的值域是________. f(x)?2?

1?1?2

11.若在区间?,2?上,函数f(x)=x+px+q与g(x)=x+在同一点取得相同的最小

x?2?

值,则f(x)在该区间上的最大值是________.

12.函数y=

2

xx+a在(-2,+∞)上为增函数,则a的取值范围是________.

1+x13.函数y=ln的单调递增区间是________.

1-x14.(10分)试讨论函数f(x)=

1

15.(13分)已知函数f(x)=a-. |x|

(1)求证:函数y=f(x)在(0,+∞)上是增函数;

(2)若f(x)<2x在(1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.

2

x2

x+1

的单调性.

难点突破

16.(12分)已知函数f(x)=

x2

x-2

(x∈R,且x≠2).

(1)求f(x)的单调区间;

(2)若函数g(x)=x2

-2ax与函数f(x)在x∈[0,1]上有相同的值域,求a的值.

3

课时作业(五)

【基础热身】

1

1.A [解析] 由题意知,函数f(x)在(0,+∞)上是减函数.而反比例函数f(x)=在

x(0,+∞)上是减函数.故选A.

2.A [解析] 函数f(x)在[3,4)上是增函数,又函数定义域中含有3而没有4,所以该函数有最小值无最大值,故选A.

3.B [解析] 方法一:由偶函数的定义可排除C,D,又∵y=cos2x为偶函数,但在(1,2)内不单调递增,故选B.

方法二:由偶函数定义知y=log2|x|为偶函数,以2为底的对数函数在(1,2)内单调递增.

1x4. [解析] 因为x≥0,当x=0时,y=0不是函数的最大值.当x>0时,f(x)=2x+1111=,而x+≥2,当且仅当x=1时等号成立,所以f(x)≤.

12xx+

x【能力提升】

5.A [解析] 由题意,结合函数性质可得x>1时f(x)>0,x<1时f(x)<0;x<0或x>4时g(x)<0,00,故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}.

?5??1??1?1

6.A [解析] 因为函数的周期为2,所以f??=f?2+?=f??=,又函数是奇函数,

?2??2??2?2

1?5??5?∴f?-?=-f??=-,故选A. 2?2??2?

11111t1011t2

7.C [解析] 因为x+1≥1,所以0<2≤1,令t=2,则≤<,即≤<1,

x+1x+122222

1

所以≤y<1.故选C.

2

x22

8.A [解析] 由题可知f(x)=e-1>-1,g(x)=-x+4x-3=-(x-2)+1≤1,若

2

有f(a)=g(b),则g(b)∈(-1,1],即-b+4b-3>-1,解得2-2

x9.C [解析] 由题设条件知函数f(x)在R上为减函数,所以x<0时,f1(x)=a为减函

0

数,则a∈(0,1);x≥0时,f(x)=(a-3)x+4a中a-3<0,且f(0)=(a-3)×0+4a≤a,

11

得a≤.综上知0

44

1?10??1??1?10.?2,? [解析] 令f(x)=t,t∈?,3?,问题转化为求y=t+,t∈?,3?的值

3?t??2??2?

域.

1?1??10?因为y=t+在?,1?上递减,在[1,3]上递增,所以y∈?2,?.

3?t?2??

x·=2,当x=1时等号成立,所以x=1时,g(x)

xx2

p4q-p的最小值为2,则f(x)在x=1时取最小值2,所以-=1,=2.解得p=-2,q=3.

2

4

1

11.3 [解析] g(x)=x+≥2

1

?1?2

所以f(x)=x-2x+3,所以f(x)在区间?,2?上的最大值为3.

?2?

12.a≥2 [解析] y=

xx+a=1-

ax+a,因为函数在(-2,+∞)上为增函数,所以a>0,

所以得函数的单调增区间为(-∞,-a),(-a,+∞),要使y=增函数,只需-2≥-a,即a≥2.

xx+a在(-2,+∞)上为

4

1+x13.(-1,1) [解析] 由>0得函数的定义域为(-1,1),原函数的递增区间即为

1-x1+x1+x2

函数u(x)=在(-1,1)上的递增区间,由于u′(x)=′=2>0.故函数u(x)

1-x1-x(1-x)

1+x=的递增区间为(-1,1),即为原函数的递增区间. 1-x14.解:f(x)的定义域为R,在定义域内任取x1<x2,

x1x2(x1-x2)(1-x1x2)

有f(x1)-f(x2)=2-2=, 2

x1+1x2+1(x21+1)(x2+1)22

其中x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0.

①当x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,所以|x1x2|<1,

则x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)<f(x2),所以f(x)为增函数. ②当x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时,

1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),所以f(x)为减函数.

综上所述,f(x)在(-1,1)上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.

1

15.解:(1)证明:当x∈(0,+∞)时,f(x)=a-,

x设00,x2-x1>0.

1111x1-x2

∴f(x1)-f(x2)=a--a-=-=<0. 1

(2)由题意a-<2x在(1,+∞)上恒成立,

x1x2x2x1x1x2

∴f(x1)

x1

设h(x)=2x+,则a

x可证h(x)在(1,+∞)上单调递增. 所以a≤h(1),即a≤3.

所以a的取值范围为(-∞,3]. 【难点突破】

2

x2[(x-2)+2]4

16.解:(1)f(x)===(x-2)++4,

x-2x-2x-2

4

令x-2=t,由于y=t++4在(-∞,-2),(2,+∞)内单调递增,

t在(-2,0),(0,2)内单调递减,∴容易求得f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(4,+∞);单调递减区间为(0,2),(2,4).

(2)∵f(x)在x∈[0,1]上单调递减,∴其值域为[-1,0], 即x∈[0,1]时,g(x)∈[-1,0].

∵g(0)=0为最大值,∴最小值只能为g(1)或g(a),

??a≥1,

若g(1)=-1,则??a=1;

?1-2a=-1?1??≤a≤1,

若g(a)=-1,则?2?a=1.

??-a2=-1

综上得a=1.

5

高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版

[第5讲函数的单调性与最值](时间:45分钟分值:100分)基础热身1.下列函数中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1f(x2)”的是()1A.f(x)=<
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