高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版

[第5讲 函数的单调性与最值]

(时间：45分钟 分值：100分)

基础热身

1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是( )

1

A．f(x)＝

xB．f(x)＝(x－1)

xC．f(x)＝e

D．f(x)＝ln(x＋1)

1

2．函数f(x)＝1－在[3，4)上( )

2

xA．有最小值无最大值 B．有最大值无最小值 C．既有最大值又有最小值 D．最大值和最小值皆不存在

3．[2013·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A．y＝cos2x，x∈R

B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0

x－xe－eC．y＝，x∈R

23

D．y＝x＋1，x∈R 4．函数f(x)＝

xx＋1

的最大值为________．

能力提升 5．[2013·宁波模拟] 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝( )

A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4}

6．[2013·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，?5?则f?－?＝( ) ?2?

11A．－ B．－ 2411C. D. 42

1

1

1?x2?7．[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y＝???2?

?1?A．(－∞，1) B.?，1? ?2?

?1??1?C.?，1? D.?，＋∞? ?2??2?

x＋1

的值域为( )

8．[2013·惠州二调] 已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )

A．(2－2，2＋2) B．[2－2，2＋2] C．[1，3] D．(1，3)

x??a（x<0），

9．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f(x)＝?满足对任

?（a－3）x＋4a（x≥0）?

f（x1）－f（x2）

意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围是( )

x1－x2

A．(3，＋∞) B．(0，1) ?1?C.?0，? D．(1，3) ?4?

1?1?10．若函数y＝f(x)的值域是?，3?，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________． f（x）?2?

1?1?2

11．若在区间?，2?上，函数f(x)＝x＋px＋q与g(x)＝x＋在同一点取得相同的最小

x?2?

值，则f(x)在该区间上的最大值是________．

12．函数y＝

2

xx＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．

1＋x13．函数y＝ln的单调递增区间是________．

1－x14．(10分)试讨论函数f(x)＝

1

15．(13分)已知函数f(x)＝a－. |x|

(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．

2

x2

x＋1

的单调性．

难点突破

16．(12分)已知函数f(x)＝

x2

x－2

(x∈R，且x≠2)．

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若函数g(x)＝x2

－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．

3

课时作业(五)

【基础热身】

1

1．A [解析] 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而反比例函数f(x)＝在

x(0，＋∞)上是减函数．故选A.

2．A [解析] 函数f(x)在[3，4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，所以该函数有最小值无最大值，故选A.

3．B [解析] 方法一：由偶函数的定义可排除C，D，又∵y＝cos2x为偶函数，但在(1，2)内不单调递增，故选B.

方法二：由偶函数定义知y＝log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在(1，2)内单调递增．

1x4. [解析] 因为x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最大值．当x>0时，f(x)＝2x＋1111＝，而x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以f(x)≤.

12xx＋

x【能力提升】

5．A [解析] 由题意，结合函数性质可得x>1时f(x)>0，x<1时f(x)<0；x<0或x>4时g(x)<0，00，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．

?5??1??1?1

6．A [解析] 因为函数的周期为2，所以f??＝f?2＋?＝f??＝，又函数是奇函数，

?2??2??2?2

1?5??5?∴f?－?＝－f??＝－，故选A. 2?2??2?

11111t1011t2

7．C [解析] 因为x＋1≥1，所以0<2≤1，令t＝2，则≤<，即≤<1，

x＋1x＋122222

1

所以≤y<1.故选C.

2

x22

8．A [解析] 由题可知f(x)＝e－1>－1，g(x)＝－x＋4x－3＝－(x－2)＋1≤1，若

2

有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，即－b＋4b－3>－1，解得2－2

x9．C [解析] 由题设条件知函数f(x)在R上为减函数，所以x<0时，f1(x)＝a为减函

0

数，则a∈(0，1)；x≥0时，f(x)＝(a－3)x＋4a中a－3<0，且f(0)＝(a－3)×0＋4a≤a，

11

得a≤.综上知0

44

1?10??1??1?10.?2，? [解析] 令f(x)＝t，t∈?，3?，问题转化为求y＝t＋，t∈?，3?的值

3?t??2??2?

域．

1?1??10?因为y＝t＋在?，1?上递减，在[1，3]上递增，所以y∈?2，?.

3?t?2??

x·＝2，当x＝1时等号成立，所以x＝1时，g(x)

xx2

p4q－p的最小值为2，则f(x)在x＝1时取最小值2，所以－＝1，＝2.解得p＝－2，q＝3.

2

4

1

11．3 [解析] g(x)＝x＋≥2

1

?1?2

所以f(x)＝x－2x＋3，所以f(x)在区间?，2?上的最大值为3.

?2?

12．a≥2 [解析] y＝

xx＋a＝1－

ax＋a，因为函数在(－2，＋∞)上为增函数，所以a>0，

所以得函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使y＝增函数，只需－2≥－a，即a≥2.

xx＋a在(－2，＋∞)上为

4

1＋x13．(－1，1) [解析] 由>0得函数的定义域为(－1，1)，原函数的递增区间即为

1－x1＋x1＋x2

函数u(x)＝在(－1，1)上的递增区间，由于u′(x)＝′＝2>0.故函数u(x)

1－x1－x（1－x）

1＋x＝的递增区间为(－1，1)，即为原函数的递增区间． 1－x14．解：f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2，

x1x2（x1－x2）（1－x1x2）

有f(x1)－f(x2)＝2－2＝， 2

x1＋1x2＋1（x21＋1）（x2＋1）22

其中x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0.

①当x1，x2∈(－1，1)时，即|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1，

则x1x2＜1，1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为增函数． ②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时，

1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，所以f(x)为减函数．

综上所述，f(x)在(－1，1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．

1

15．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－，

x设00，x2－x1>0.

1111x1－x2

∴f(x1)－f(x2)＝a－－a－＝－＝<0. 1

(2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立，

x1x2x2x1x1x2

∴f(x1)

x1

设h(x)＝2x＋，则a

x可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以a≤h(1)，即a≤3.

所以a的取值范围为(－∞，3]． 【难点突破】

2

x2[（x－2）＋2]4

16．解：(1)f(x)＝＝＝(x－2)＋＋4，

x－2x－2x－2

4

令x－2＝t，由于y＝t＋＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)内单调递增，

t在(－2，0)，(0，2)内单调递减，∴容易求得f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(4，＋∞)；单调递减区间为(0，2)，(2，4)．

(2)∵f(x)在x∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]， 即x∈[0，1]时，g(x)∈[－1，0]．

∵g(0)＝0为最大值，∴最小值只能为g(1)或g(a)，

??a≥1，

若g(1)＝－1，则??a＝1；

?1－2a＝－1?1??≤a≤1，

若g(a)＝－1，则?2?a＝1.

??－a2＝－1

综上得a＝1.

5