[第5讲 函数的单调性与最值]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1
1
A．f(x)＝
xB．f(x)＝(x－1)
xC．f(x)＝e
D．f(x)＝ln(x＋1)
1
2．函数f(x)＝1－在[3，4)上( )
2
xA．有最小值无最大值 B．有最大值无最小值 C．既有最大值又有最小值 D．最大值和最小值皆不存在
3．[2013·天津卷] 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1，2)内是增函数的为( ) A．y＝cos2x，x∈R
B．y＝log2|x|，x∈R且x≠0
x－xe－eC．y＝，x∈R
23
D．y＝x＋1，x∈R 4．函数f(x)＝
xx＋1
的最大值为________．
能力提升 5．[2013·宁波模拟] 已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝( )
A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4}
6．[2013·全国卷] 设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，?5?则f?－?＝( ) ?2?
11A．－ B．－ 2411C. D. 42
1
1
1?x2?7．[2013·哈尔滨师大附中期中] 函数y＝???2?
?1?A．(－∞，1) B.?，1? ?2?
?1??1?C.?，1? D.?，＋∞? ?2??2?
x＋1
的值域为( )
8．[2013·惠州二调] 已知函数f(x)＝e－1，g(x)＝－x＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为( )
A．(2－2，2＋2) B．[2－2，2＋2] C．[1，3] D．(1，3)
x??a（x<0），
9．[2013·长春外国语学校月考] 已知函数f(x)＝?满足对任
?（a－3）x＋4a（x≥0）?
f（x1）－f（x2）
意的实数x1≠x2都有<0成立，则实数a的取值范围是( )
x1－x2
A．(3，＋∞) B．(0，1) ?1?C.?0，? D．(1，3) ?4?
1?1?10．若函数y＝f(x)的值域是?，3?，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是________． f（x）?2?
1?1?2
11．若在区间?，2?上，函数f(x)＝x＋px＋q与g(x)＝x＋在同一点取得相同的最小
x?2?
值，则f(x)在该区间上的最大值是________．
12．函数y＝
2
xx＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a的取值范围是________．
1＋x13．函数y＝ln的单调递增区间是________．
1－x14．(10分)试讨论函数f(x)＝
1
15．(13分)已知函数f(x)＝a－. |x|
(1)求证：函数y＝f(x)在(0，＋∞)上是增函数；
(2)若f(x)<2x在(1，＋∞)上恒成立，求实数a的取值范围．
2
x2
x＋1
的单调性．
难点突破
16．(12分)已知函数f(x)＝
x2
x－2
(x∈R，且x≠2)．
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若函数g(x)＝x2
－2ax与函数f(x)在x∈[0，1]上有相同的值域，求a的值．
3
课时作业(五)
【基础热身】
1
1．A [解析] 由题意知，函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．而反比例函数f(x)＝在
x(0，＋∞)上是减函数．故选A.
2．A [解析] 函数f(x)在[3，4)上是增函数，又函数定义域中含有3而没有4，所以该函数有最小值无最大值，故选A.
3．B [解析] 方法一：由偶函数的定义可排除C，D，又∵y＝cos2x为偶函数，但在(1，2)内不单调递增，故选B.
方法二：由偶函数定义知y＝log2|x|为偶函数，以2为底的对数函数在(1，2)内单调递增．
1x4. [解析] 因为x≥0，当x＝0时，y＝0不是函数的最大值．当x>0时，f(x)＝2x＋1111＝，而x＋≥2，当且仅当x＝1时等号成立，所以f(x)≤.
12xx＋
x【能力提升】
5．A [解析] 由题意，结合函数性质可得x>1时f(x)>0，x<1时f(x)<0；x<0或x>4时g(x)<0，0
?5??1??1?1
6．A [解析] 因为函数的周期为2，所以f??＝f?2＋?＝f??＝，又函数是奇函数，
?2??2??2?2
1?5??5?∴f?－?＝－f??＝－，故选A. 2?2??2?
11111t1011t2
7．C [解析] 因为x＋1≥1，所以0<2≤1，令t＝2，则≤<，即≤<1，
x＋1x＋122222
1
所以≤y<1.故选C.
2
x22
8．A [解析] 由题可知f(x)＝e－1>－1，g(x)＝－x＋4x－3＝－(x－2)＋1≤1，若
2
有f(a)＝g(b)，则g(b)∈(－1，1]，即－b＋4b－3>－1，解得2－2 x9．C [解析] 由题设条件知函数f(x)在R上为减函数，所以x<0时，f1(x)＝a为减函 0 数，则a∈(0，1)；x≥0时，f(x)＝(a－3)x＋4a中a－3<0，且f(0)＝(a－3)×0＋4a≤a， 11 得a≤.综上知0 44 1?10??1??1?10.?2，? [解析] 令f(x)＝t，t∈?，3?，问题转化为求y＝t＋，t∈?，3?的值 3?t??2??2? 域． 1?1??10?因为y＝t＋在?，1?上递减，在[1，3]上递增，所以y∈?2，?. 3?t?2?? x·＝2，当x＝1时等号成立，所以x＝1时，g(x) xx2 p4q－p的最小值为2，则f(x)在x＝1时取最小值2，所以－＝1，＝2.解得p＝－2，q＝3. 2 4 1 11．3 [解析] g(x)＝x＋≥2 1 ?1?2 所以f(x)＝x－2x＋3，所以f(x)在区间?，2?上的最大值为3. ?2? 12．a≥2 [解析] y＝ xx＋a＝1－ ax＋a，因为函数在(－2，＋∞)上为增函数，所以a>0， 所以得函数的单调增区间为(－∞，－a)，(－a，＋∞)，要使y＝增函数，只需－2≥－a，即a≥2. xx＋a在(－2，＋∞)上为 4 1＋x13．(－1，1) [解析] 由>0得函数的定义域为(－1，1)，原函数的递增区间即为 1－x1＋x1＋x2 函数u(x)＝在(－1，1)上的递增区间，由于u′(x)＝′＝2>0.故函数u(x) 1－x1－x（1－x） 1＋x＝的递增区间为(－1，1)，即为原函数的递增区间． 1－x14．解：f(x)的定义域为R，在定义域内任取x1＜x2， x1x2（x1－x2）（1－x1x2） 有f(x1)－f(x2)＝2－2＝， 2 x1＋1x2＋1（x21＋1）（x2＋1）22 其中x1－x2＜0，x1＋1＞0，x2＋1＞0. ①当x1，x2∈(－1，1)时，即|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1， 则x1x2＜1，1－x1x2＞0，f(x1)－f(x2)＜0，f(x1)＜f(x2)，所以f(x)为增函数． ②当x1，x2∈(－∞，－1]或[1，＋∞)时， 1－x1x2＜0，f(x1)＞f(x2)，所以f(x)为减函数． 综上所述，f(x)在(－1，1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数． 1 15．解：(1)证明：当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝a－， x设0 1111x1－x2 ∴f(x1)－f(x2)＝a－－a－＝－＝<0. 1 (2)由题意a－<2x在(1，＋∞)上恒成立， x1x2x2x1x1x2 ∴f(x1) x1 设h(x)＝2x＋，则a x可证h(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以a≤h(1)，即a≤3. 所以a的取值范围为(－∞，3]． 【难点突破】 2 x2[（x－2）＋2]4 16．解：(1)f(x)＝＝＝(x－2)＋＋4， x－2x－2x－2 4 令x－2＝t，由于y＝t＋＋4在(－∞，－2)，(2，＋∞)内单调递增， t在(－2，0)，(0，2)内单调递减，∴容易求得f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(4，＋∞)；单调递减区间为(0，2)，(2，4)． (2)∵f(x)在x∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]， 即x∈[0，1]时，g(x)∈[－1，0]． ∵g(0)＝0为最大值，∴最小值只能为g(1)或g(a)， ??a≥1， 若g(1)＝－1，则??a＝1； ?1－2a＝－1?1??≤a≤1， 若g(a)＝－1，则?2?a＝1. ??－a2＝－1 综上得a＝1. 5
高三数学一轮复习《函数的单调性与最值》理 新人教B版
