一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
1． 设事件 A,B 仅发生一个的概率为
生的概率为 __________. 答案： 0.3 解：
0.3，且 P( A) P(B) 0.5，则 A, B 至少有一个不发
P(AB AB) 0.3
即
0.3 P( AB) P( AB) P( A) P( AB) P(B) P( AB) 0.5 2P( AB)
所以
P( AB) 0.1
P( A B) P( AB) 1 P( AB) 0.9.
2． 设随机变量 X 服从泊松分布，且
答案：
P( X 1) 4P( X 1 1
e 6
2) ，则 P(X 3) ______.
解答：
2
P(X 1) P(X 0) P( X 1) e
由 P( X
e , P( X
2
2)
2
e
1) 4P( X 1 0
2) 知 e
解得
e 2 e
1
1 e 6
2
2
即 2
1，故 P(X 3)
3． 设随机变量 X 在区间 ( 0,2) 上服从均匀分布， 则随机变量 Y
密度为 f ( y)
Y
X 在区间 ( 0,4) 内的概率
_________.
答案：
1
f (y) F ( y)
Y
Y
f ( y)
X
2 y
1
, 0 y 4
4, y 0 ,
. 其它
解答：设 Y 的分布函数为 FY ( y), X 的分布函数为 FX (x) ，密度为 fX (x) 则
2
F ( y) P(Y
Y
y)
X
P( X (
y )P(
Y
y X
X
)y
X
F( )y
X
F( )y
因为 X ~ U (0, 2) ，所以 F 故
y) 0，即 F (y) F ( y)
1
1
1
f (y) F ( y)
f ( y)
4
, 0 y Y
Y
X
4, 2 y
y 0 , 其它.
另解 在 (0, 2) 上函数 2
y
x 严格单调，反函数为 h(y) y
所以
f ( y)
f ( y)
1
1 4
, 0 y Y
X
2 y
4, y 0 , 其它.
4． 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为
的指数分布，
2
P( X 1) e ，则_________，P{min( X ,Y) 1} =_________.
答案： 2-4
， P{min( X ,Y) 1} 1 e
解答：
2
P( X 1) 1 P( X 1) e e ，故 2
P{min( X ,Y) 1}
1 P{min( X ,Y) 1} 1 P(X 1)P (Y 1)
4
1 e .
5． 设总体 X 的概率密度为
(
1)x , 0 x 1,
f (x)
1.
0,
其它
X1 , X2 , , X 是来自 X 的样本，则未知参数
的极大似然估计量为 _________.
n
答案：
1
1
n
1
ln x
n
i
i 1
解答： 似然函数为
n
n
L(x , , x ; )
( 1)x
( 1) ( x , , x )
1
n
i
1 n
i 1
n
ln L n ln(
1)
ln x
i
i 1
n d ln L n
ln x
0
d
1
i
i 1
解似然方程得 的极大似然估计为
2
1
1.
n 1
ln x
n
i
i 1
二、单项选择题（每小题 3 分，共 15 分）
1．设 A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若 P(C) 1，则 AC 与 BC 也独立 . （B）若 P(C) 1，则 A C 与 B也独立 . （C）若 P(C) 0 ，则 A C 与 B也独立 .
（D）若 C
B ，则 A与C 也独立 .
（
）答案：（D）.
解答：因为概率为 1 的事件和概率为 0 的事件与任何事件独立，所以（ A ），都是正确的，只能选（ D）.
事实上由图
可见 A 与 C 不独立 .
S
A
B
C
2．设随机变量 X ~ N (0,1), X 的分布函数为 ( x) ，则 P(| X | 2) 的值为
（A） 2[1 (2)] . （B） 2 (2) 1 . （C） 2
(2) .
（D）1 2 (2) .
（
）
答案：（A）
解答： X ~ N (0,1) 所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2) 1 P( 2
X 2)
1 ( 2 ) ( 2 ) 1 [ 2 ( 2 ) 1] 2 [ 1
应选（ A） .
3．设随机变量
X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是
（A） X 与Y独立 . （B） D(X Y) DX
DY .
（C） D(X Y) DX
DY . （D） D(XY ) DXDY .
（
）
3
B），（C）
（
答案：（B）
解答：由不相关的等价条件知，
0
cov x y
0
xy
（ ， ）
D(X Y) DX
DY +2cov（x，y）
应选（ B）.
4．设离散型随机变量
X 和Y的联合概率分布为
(X ,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2, 2) (2,3)
P
1 1 1 1 6 9
18
3
若 X ,Y 独立，则 , 的值为
（A）
2
1 . （A）
1
2 ,
,
. 9 9 9 9
（C）
1 1 , （D）
5 1 , . 6
6
18
18
4
）（
答案：（A）
解答： 若 X ,Y 独立则有
P(X 2, Y 2) P(X 2)P(Y 2)
1 2
1 1 6 1 3 1 1
2 1 9
3 1 18
1 3
1 18
1 3
1
( 3
2 9
1 )( 9
，
)
2 1 ( 3 9 1 9
)
2 9
故应选（ A）.
5．设总体 X 的数学期望为
正确的是
, X1 , X2 , , Xn 为来自 X 的样本，则下列结论中
（A） X1 是 的无偏估计量 . （B） X1 是 的极大似然估计量 .
的估计量 . （
）
（C） X1 是 的相合（一致）估计量 . （D） X1 不是
答案：（A） 解答：
EX
1
，所以 X1 是 的无偏估计，应选（ A）.
三、（ 7 分）已知一批产品中 90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为
0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为
0.02，
求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；
（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率
.
A 解：设
‘任取一产品，经检验认为是合格品’
B ‘任取一产品确是合格品’
则（1） P( A)
P( B)P(A | B) P( B)P( A| B)
0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.
（2） P(B | A)
P( AB) P( A)
0.9 0.95 0.857
. 0.9977
四、（ 12 分）
从学校乘汽车到火车站的途中有 的，并且概率都是 2/5.
3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立
X 为途中遇到红灯的次数，设
.
求 X 的分布列、分布函数、数学期望和方差
5
X 的概率分布为解：
2
k k
3
3 k
P(X k) C ( ) ( )
k 0,1,2,3.
3
5
5
X
0 1 2 3
即
P
27
54 36 8 125
125 125 125
X 的分布函数为
0 ,
x 0,
27
125 , 0 x 1, 81 F (x) , 1 x 2,
125
117
125 , 2 x 3, 1 ,
x 3.
EX 2 6 3 , 5 DX 3 2 3 5
1 8 5 5 2 5
. 五、（ 10 分）设二维随机变量 (X ,Y) 在区域 D {( x, y) | x 0, y 0, x y 1} 均匀分布 . 求（1）(X ,Y) 关于 X 的边缘概率密度； （2）Z X Y
的分布函数与概率
密度.
解：
（1）( X ,Y) 的概率密度为
y
1
f (x, y)
2, (x, y) D x+y=1
0, 其它
.
D
D1
0
z
(x)
f (x, y)dy
2 2x, 0 x 1 x+y=z
1
x
f X
0
, 其它
（2）利用公式
fZ (z) f (x, z x)dx
其中
2, 0 x 1,0 z x 1 x 2, 0 x 1, x z 1. f (x, z x)
0,
其它
0, 其它.
当 z
0或z 1时 fZ (z)
0
z
z=x
0 z 1z
z
时 f (z) 2
dx 2x
2z
Z
0
0
上服从 6
x
Z 的概率密度为故
0 ,
f (z)
Z
2z, 0 z 1,
其它.
Z 的分布函数为
0,
z 0 0 , z 0,
z
z
2
f (z)
f ( y)dy
2 ydy, 0 z 1
z , 0 z 1, Z
Z
0
1 , z 1.
1,
z 1
或利用分布函数法
0 ,
z 0 ,
F ( z)
P( Z z) P( X Y )z 2 d x d ,y 0
z1,
Z
D
1
1 , z 1.
0 ,
z 0, 2
z ,
0 z 1, 1 ,
z 1.
f (z) F (z)
2z, 0 z 1, Z
Z
0 ,
其它.
六、（ 10 分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标 X 和纵坐标 Y 相 互独立， 且均服从 2 N (0, 2 ) 分布. 求（1）命中环形区域 2 2 D {( x, y) |1 x y 2} 的 概率；（2）命中点到目标中心距离
2 2
Z X Y 的数学期望 .
解：
（1） P{ X,Y) D}
f (x, y) dxdy
y
D
2
2
2
x y
r
D
1
1
0 1 2
x
2 2
e dxdy 2
2
2
e rdrd
r
r 2
r
1
8 e 8 d
e 8
e 8 8
( ) 2 4
8
8
0 1
1
2 1
1
e 2 ；
（2）
2 2
x
2
2
2
2
y 8
1 e 8
2
EZ E( X Y )
2
x y dxdy
r r
1
2
8
1
2 8
re rdrd
8
0
0
e r dr 4
0
7
2 2 2
r r r
2
re
8
0
0
1 e dr
8
e dr
8
2 .
2 2
七、（11 分）设某机器生产的零件长度（单位：
样本，测得样本均值
cm）
2
x 10 ，样本方差 2
s
2
X ~ N( , 0.16
. （1）求
) ，今抽取容量为 16 的
的置信度为 0.95 的置信
区间；（2）检验假设
H 0 : 0.1（显著性水平为 0.05）.
（附注） t0.05 (16) 1.746, t0.05 (15) 1.753, t0.025 (15) 2.132,
2 0.05
2 2
(16) 26.296,
0.05
(15) 24.996,
0.025
(15) 27.488.
解：（1） 的置信度为 1
下的置信区间为
s
(X t (n 1)
/2
s
, X t (n 1)
/2
) n
n
X 10, s 0.4, n 16,
所以
0.05, t (15) 2.132
0.025
的置信度为 0.95 的置信区间为（ 9.7868，10.2132）
（2） H0 :
2
2
0.1的拒绝域为
2
2
2
(n 1) .
15S
2
因为
15 1.6 24 0.1
2
2
，
0.05
(15) 24.996
24 24.996 (15)，所以接受 H0 .
0.05
《概率论与数理统计》期末考试试题（ A）
专业、班级： 一、 题 号 得 分
姓名：
学号：
单项选择题 (每题 3 分 共18 分)
一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 十一 十二 总成绩
1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B
8
一、单项选择题 (每题 3 分 共 18 分)
（1）
A B P( AB) 0, (
若事件 、 适合 则以下说法正确的是 (A) A
B ( );
与 互斥 互不相容
P( B) 0; 或
).
(B) P( A) 0 (C) A
B ; 与 同时出现是不可能事件
P (B A) 0. 则
X -1 0 1 2 P 0.2 0.3 0.1 0.4
(D) P( A) 0 ,
（2）设随机变量 X其概率分布为
则P{ X 1 .5} （
(A)0.6
(B) 1
）。 (C) 0
(D)
1 2
（3）
设事件 A 与 A2 同时发生必导致事件 A发生，则下列结论正确的是
（ ）
1
（A） ( )
P A
（C） ( )
( )
P A1 A
2
（B） P(A) P(A1 ) P( A2 ) 1
P A
( P A1
) A
2
（D） P( A) P( A1 ) P( A2 ) 1
（4）
设随机变量
X ~ N ( 3, 1), Y ~ N (2, 1),
立 ,
令 (A) N (0, 5);
Z
X
2 Y 7 ,
则
(B) N ( 0, 3);
Z ~ (
).
且
X
与
Y
相互独
(C) N (0 , 46 ); (D) N (0, 54).
9
（5）设
1
,
为正态总体 N ( , 2) 的一个简单随机样本，其中
2
n
2,
X X , , X
未知，则（
(A)
n
2 i
i 1
2
）是一个统计量。
n
X (B)
i 1
(X
i
)
2
X
(C) X (D)
未知。统计假设
2 ),
2
X ~ N( , （6）设样本 X1, X2 , , Xn 来自总体
2 ),
2
为 H 0：
（ 已知） H ：
0
0
1
。 则所用统计量为（
0
）
(A) U
(C) 2
X
0
n
2
(B) T
X 0
S n
n
(n 1)S
2
(D)
2
1
( X
i
2
i 1
2
)
二、填空题 (每空 3 分 共 15 分)
（1）如果 P( A)
0, P( B) 0, P(A B) P( A) ，则 P(B A) .
（2）设随机变量 X 的分布函数为
F ( x)
0,
x
1 (1 x)e ,
x 0,
x 0. ，P(X 2)
.
则 X 的密度函数 f (x)
（3）
设
? ? , 2
1
当
a
? ? 2 ? 3 ? , , a 是 的 1 2 3
总无体偏分估布计中量 参数
? ________ , . 是的
时 也 无偏
估计量
,
? 3
设总体 X
和Y 相互独立,且
（4）
X1 , X , X
是来自总体
都服从 N (0,1) ，
X 的
2 9
样本，Y1,Y2 , Y9 是来自总体 Y 的样本，则统计量
U
X
1 2
X
9 2
Y
1
Y
9
服从 分布（要求给出自由度） 。
10
二、填空题(每空 3 分 共 15 分)
x
xe x 0
,
2
1. P(B) 2.
f (x)
0
三、 (6 分)
3e 3. 1 4. t(9)
x 0
设 A, B 相互独立， P( A) 0.7 ， P(A B) 0.88 ，求 P( A B) .
解： 0.88=P( A B) P( A) P(B) P( AB)
= P( A) P( B) P( A)P(B) =0.7 P( B) 0.7 P(B ) 则 P(B) 0.6
P( A B) P( A) P( AB) P( A) P( A)P( B)
(因为A, B 相互独立 )? ? ..2 分
? ? ? ? 3 分 ? ? ? ? .4 分
0.7 0.7 0.6 0.28
四、（6
? ? ? ? 6 分 T，各电梯在
分）某宾馆大楼有4 部电梯，通过调查，知道在某时刻
运行的概率均为0.7 ，求在此时刻至少有1 台电梯在运行的概率。 解：用 X 表示时刻 T 运行的电梯数，则X ~b( 4, 0. 7)
所求概率
P X 1
0
? ? ? ...2 分
? ? ? ? 4 分 ? ? ? ? .6 分
x
1 P X
0
4
0
1 C4 ( 0.7) (1 0.7) =0.9919
五、（
6 分）设随机变量X 的概率密度为
x) f (
e , 0,
x 0 其它
，
求随机变量Y=2X+1 的概率密度。
解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算
? ? ? ? .1 分
当 X 0时， Y 1
由 y 2x 1， 得
? ? ? ? .2 分
y 1 1
, x' 2
2
x ? ? ? ?
4分
y 1 1 f ( ) 2 2
从而 Y 的密度函数为fY ( y)
0
y 1
? ? ? ? ..5 分 y 1
11
1 e 2
y 1 2
y 1
=
0
y 1
? ? ? ? ..6 分
12
X 的概率密度为 五、（6 分）设随机变量
f ( x)
x
e , 0,
x 0 其它
，
求随机变量Y=2X+1 的概率密度。
解：因为y 2x 1是单调可导的，故可用公式法计算
? ? ? ? .1 分
当 X 0时， Y 1
由 y 2x 1， 得 x
? ? ? ? .2 分
y 1 1
, x' 2
2
? ? ? ?
4分
y 1 1 f ( ) 2 2
从而 Y 的密度函数为fY y)
(
0
1 e 2
y 1 2
y 1
? ? ? ? ..5 分 y 1
y 1
=
0
y 1
? ? ? ? ..6 分
六、（
8 分） 已知随机变量X 和 Y 的概率分布为
X
1 1 4
0 1
2
1 1 4
Y
P
0 1 2
1 1
2
P
而且 P{ XY 0} 1.
(1) 求随机变量X 和 Y 的联合分布 ; (2)判断 X 与 Y 是否相互独立 ? 解：因为P XY 0
1，所以 P XY
0
0
(1)根据边缘概率与联合概率之间的关系得出
Y -1 0
X 0
1
1 4
0
1
1 4
1
2
2
1 0 0
1 2
1 4
1 2
13
1 4
? ? ? ? .4 分
(2) 因为P X
所以
0,Y
0
0 P X
0 P Y 0
1 1 1 2 2
4
X 与 Y 不相互独立
? ? ? ? 8 分
七、（
8 分）设二维随机变量( X ,Y) 的联合密度函数为
( 3x 4y)
12e
f (x, y)
0,
, x 0,y 0,
.
其他
求：（1） P(0 X 解：（1）
1,0 Y 2) ；（2） 求 X 的边缘密度。
1
2
(3x
? ? ?
4y )
? ..2 分
P(0 X 1,0 Y 2)
0
1 0
3x
2
dx 12e
0
1 0
dy e 4y 0
2
4
4 y
= e 3x
dy
3e dx
0
e
=[ 1 e ][1 e ]
? .4 分
3 8
? ? ?
(3x 4 y)
（2）
f ( x
)
X
e 12
3x
dy ? ? ? ? ..6 分
3e x 0
? ? ? ?
? ..8 分 0
八、（6
x 0
的指数分 1
4
分）一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从参数为
布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出
一台设备盈利 100 元，调换一台设备厂方需花费300 元，求工厂出售一台 设备净盈利的期 。望
1
1
1
x
解： 因为)
X ~ e(
4
得
f (x)
e
4
x 0
? ? ?
? .2 分
4
0 x 0
用 Y 表示出售一台设备的净盈利
100 Y
100 300 0 X 1
14
X 1
? ? ? ? 3 分
x 1
1
则
4
4
P(Y 100)
1
e dx e 4
x
P Y
200
1
1
4
4
1
e dx 1 e
0
? ?
? ..4 分
4
1
1
所以
EY
100
4
( 200) (1 e
1
4
)
e
200 33.64（元）
300e 4
九、（8 分） 设随机变量
? ? ? ..6 分
X 与 Y 的数学期望分别为 2 和 2，方差分别为1 和 4，
而相关系数为0.5，求 E(2 X Y), D(2X Y) 。
解：已知
EX
2,
EY
2,
DX EY
1,
DY
4,
XY
0.5
则E(2 X Y) 2EX 2 ( 2) 2 6 ? ? ? .4 分 ? ? ? .5 分 ? ? ? .6 分
D( 2X Y) D(2X ) DY 2 cov( 2X,Y)
2DX 2DX
DY
4 cov( X ,Y)
DY 4 DX DY
XY
=12 ? ? ? ? ..8 分
十、（7 分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。已
知每户每日用电量（单位：度）服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定
理求这1 000 户居民每日用电量超过10 100 度的概率。（所求概率用标准正 态分布函数
( x) 的值表示） .
解：用 X 表示第 i 户居民的用电量，则X i ~ U [ 0,20]
i
0 20
EX
i
10 2
DX
2
(20 0) 100
? ? ? 2
12
3
分
i
1000
1000 户居民的用电量为则X X ，由独立同分布中心极限定理
i
i 1
P X 10100 1 P X 10100 ? ? ? 3 分
15
X 1000 10 =1 P
10100 1000 10
? ? ?
1000
100 3
4 分
100 1000
3
1
10100 1000 10 ( )
100
1000
3 3
? ? ? .6 分
=1 (
) 10
? ? ? 7 分
十一、（
7 分）设
x1 , x2 , , 是取自总体X 的一组样本 ，值
x
n
X 的密度函数为
f (x)
( 1)x , 0 1,
x
0,
其他
,
解:
其中 0未知，求 的最大似然估计。
最大似然函数为
n
n
L( x1, , xn , )
i 1
f (x )
i
i 1
( 1)x
i
? ? ? .2 分
n
分 =(
则
ln L( x1,
, xn , ) n ln(
1)
x x
1) ( , , )
1
n
? ? ? .3
ln( x1, ,xn )
, xn
1
? ? ? ..4 分
0 x1,
令
d ln L d
n
ln( , x1 1
?
n 1 。
ln ln( x1 , , xn ) ? .7 分 , ) 0 xn
? ? ? ..5 分
于是 的最大似然估计：
? ?
十二、（
5 分）某商店每天每百元投资的利润率X ~ N( ,1) 服从正态分布， 均值为
2
来方差
稳定为1，现随机抽取的 100 天的利润，样本均值 ，长期以
为x 5 ，试求 的置 信 水平为95%的置 信区间。（ t0.05(100) 1.99,
(1.96) 0.975 ）
16
解： 因为已知，且
X
~ N ( 0,1) n
X
? ? ? ? 1 分
故 P
n
U
2
1 ? ? ? ? 2 分
依题意0. 05, U 1.96, n 100,
2
1, x 5
则的置信水平为95%的置信区间为
[ x U
, x U
2
] n
n
n
? ? ? ?
4 分
n
22
即为[4.801,5.199] ? ? ? ? 5分
17
《概率论与数理统计》课程期末考试试 （题
专业、班 ：级题号
一
二 三 四
五
姓名： 六 七
八 九
B）
学号： 十 十一 十二
总成绩
得 分
一、单项选择题(每题3 分 （1）
共 15 分)
若事件 A、B
适合
(A) A
与 B
P( AB) 0,
则以下说法正确的是
( ).
( );
互斥 互不相容 或
P( B) 0;
;
(B) P( A) 0 (C) A
B
与 同时出现是不可能事件 则
P (B A) 0.
(D) P( A) 0 ,
（2）
k
P
离散型随机变量X 的分布律为X ? ) 的充分必要条件是 ( (A) b > 0 且 0 < < 1;
1
(C) b
1 且
< 1;
).
k b , (k 1, 2,
(B) b 1 (D)
1 1 b
且 0 < < 1; . 且 b > 0
（3）
x, 0 x 1 1 x 2 其它
连续随机变量X 的概率密度为
f (x)
2 x, 0,
则随机变量X 落在区间(0.4, 1.2) 内的概率为( (A) 0.64 ;
（4）
).
(D) 0.42.
(B) 0.6; (C) 0.5;
设随机变量X ~ N ( 3, 1), Y ~ N (2, 1), 立 ,
令
Z
(A) N (0, 5);
7 , 则 Z (B) N ( 0, 3); X
2 Y
~ (
).
X
且 Y 与
相互独
(C) N (0 , 46 ); (D) N (0, 54).
18
（5）
设 ( 1 , 2 ) 是参数 的置信度为 1 ).
2) 2)
的区间估计 , 则以下
结论正确的是 ( (A) 参数 (B) 参数
落在区间 ( 1, 落在区间 ( 1,
之内的概率为 1 之外的概率为 的概率为 1
2 )
; ;
(C) 区间 ( 1, 2) 包含参数 ;
(D) 对不同的样本观测值 , 区间 ( 1,
二、填空题
的长度相同 .
(每空 2 分 共 12 分)
（1）
X 设总体
Y , N (0, 1).( X , , X 9 )
1 与 相互独立 且都服从正态分布
X , (Y , ,Y ) 是从总体 Y 是从总体 中抽取的
1 9 中抽取的一个样本
, 一个样本
则统计量
U
X 1
2
X
9 2
Y
1
Y
9
服从
（2）
分布 参数为
______ , _______.
? ? 设
, 2
1
,
? 3
? a ________ , 当
时 也
? ? 2 ? 3 ? , , a 是 的 1 2 3
总无体偏分估布计中量 参数
. 是的无偏估计量
（3）
设总体 X ~ N( , 1) ,
1
1
是未知参数 , X1 , X 2 是样本 , 则 1 X 及 3
2
2
2 X 3
都是
1 X
1
1 2
2 X
2
的无偏估计 , 但 _______ 有效 .
（4）
设样本 ( X1 , X2 , , Xn ) 抽自总体 X ~ N ( , 2). , 2
均未知. 要对 作假设检验 , 统计假设为 H 0 : 0 ,
( ), 0 已知 H1: 0 , 则要用检验统计量为 ______ ,
给定显著水平 , 则检验的拒绝区间为 ________ .
19
三、
(7 分) 已知 P( A) 0.5, P( B) 0.6，条件概率 P(B A) 0.8, 试求P( AB)..
四、
(9 分) .设随机变量 X 的分布函数为 F (x) A B arctan x,
x ，
求:（1）常数 A, B ；（2）P( X 1) ；（3）随机变量 X 的密度函数。
20
五、(6 分) 某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第
1 车间的次品率为 0.15 ，
第 2 车间的次品率为 0.12. 两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中， 假设 1、2 车间生产的成品比例为 2：3，今有一客户从成品仓库中随机提台 产品，求该产品合格的概率 .
六、(8 分)
已知甲、 乙两箱装有同种产品， 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次
品，乙箱中仅装有 3 件合格品，从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后，求乙箱 中次品件数的分布律及分布函数 F (x) .
21
七、(7 分) 设随机变量 X 的密度函数为
x
e ,
f (x)
0,
x 0 其它
x
求随机变量的函数
Y e 的密度函数 fY ( y) 。
八、
(6 分) 现有一批钢材，其中 80%的长度不小于 3 m，现从钢材中随机取出
100 根，试用中心极限定理求小于 3 m 的钢材不超过 30 的概率。(计算结果 用标准正态分布函数值表示 )
22
九、(10 分)
设二维随机变量 (X,Y) 的联合密度函数为
( 3x 4y)
12e
f (x, y)
0,
, x 0,y 0,
其他.
求：（1） P(0 X 1,0 Y 2) ；（2）求X ,Y 的边缘密度 ;（3）判断 X 与Y 是
否相互独立
23
十、(8 分) ．设随机变量（ X ,Y ）的联合密度函数为
f (x, y)
y x 12 2 1,
y , 0 0,
其他
求E( X ), E(Y ), E( XY) , 进一步判别 X 与Y 是否不相关。
24
十一、
X1 , X , , X 是来自总体 X 的一个简单随机样本，总体 X 的密度函数 (7 分) .设
2
n
为
f (x, )
2x , 0 x
2
, 其他,
0,
求 的矩估计量。
_
十二、（5 分）总体 X ~ N( ,1)测得样本容量为
100 的样本均值 X 5 ，求 X 的
数 学 期 望 的 置 信 度 等 于 0.95 的 置 信 区 间 。（ t0.05 (100 ) 1. 99,
(1 .96) 0.975)
25
一、单项选择题：（15 分） 1、D 2、D 3、B 4、A 5、C
二、填空题：（12分） 1、t, 9 ; 2、-1 3、 2 更
4、
X
S
S
S/ n
X
;
，( t
/ 2
(n 1)
, X t
/ 2
(n 1)
) n
n
三、（7 分） 解：
P( AB) P( A)P(B | A).................................4
分
＝0.5 0.8 0.4...................................7
＝ 分
四、（9 分） 解：（1）由 1 F (
)
A B
.......................1 分
2
0 F (
) A B
.......................2 分 2
得 1 1
A , B .......................3
F (x)
arctan
分 x .......................4 2
分 1
1
2
（2）
P( X ) F (1) F ( 1) 分
1
（3）
(
)
f (x) F (x)
.......................9 分
2
x
(1 x )
1
2
........五、（6 分）
26
解：B { }
从仓库随机提出的一台 是合格品
{ i }( i 1,2) i
提出的一台是第 车间生产
2 3
P( A1) , P(A ) 5 5
2 ....................................................................................2
分
A
P(B | A ) 1 0.15 0.85, P( B| A ) 1 0.12 0.88...............................3
分
1
2
则 P(B) P(A )P(B | A ) P(A )P(B | A ).....................................................5分
1
1
2
2
2 3
＝ 0.85＋ 0.88＝0.868..................................................................6分 5 5
六、（8 分）
解：设用 X 表示乙箱中次品件数，则 X 的分布律为
C C 0) 3 3
3 0
3
P(X P(X
1 9
20 20
P(X
1)
P(X 3)
C C C
6
1 2
3 3 3
9 20 1 20
.......................4 分
C 2)
6 2 3 3 1 3
C C C
6
3 0 C C 3 3 3 C 6
X 的分布函数 F(x) 为
F (x)
0 1 20 1
x 0 0 x 1 1 x 2
.......................8 分
2
19 20 1
2 x 3 3 x
七、（7 分）
解:
27
Y 可能取值范围为 [1, e
X
), Y 的分布函数为 F ( y) P(Y y) P(e Y
X
y)...........3
分
当 y 1 时，F ( y) 0
Y
＝
当 y 1 时，F (y)＝P( X ln y) F (ln y)....................................5分
Y X 则 Y
的密度函数为
f ( y)
Y
[ (ln y)]' y 1 F y 1 X 0 e
ln y.
1 y
y 1
...............................................6
分 y 1
y 1
................................................7
分 y 1
0
1
2
y 0
八、（6 分）
解:
设 X 为100根钢材小于 3m的钢材根数 则
分
X ~ B(100,0.2)...............................2
E( X ) 100 0.2 20 D( X ) 100 0.2 0.8 16........................3
＝ ， ＝ 分 由中心极限定理： X 20
P( X 30) P(
16
分 30 20
)....................................5 16
分
(2 .5) 0.9938................................................6
.
九、（10分） 解：
1
2
(3x 4 y)
（1）P(0 X 1,0 Y 2) = dx
0
0
e 12
dy
.......................2 分
3
e
8
=(1 e )(1
（2）关于 X 的边缘分布：
f X (x)
f (x, y)d y
) .......................3 分
.......................4 分
28
3x
3e =
0
x 0
.......................6 分
x 0
同理关于 Y 的边缘分布：
4y
4e
fY ( y)
f (x, y)d x =
y 0 y 0
.......................8 分
0
（3）因为
f (x, y)
f X (x) fY (y)
(
x
,
y
)
所以 X 与Y 相互独立。 .......................10分
十、（8 分） 解：
E( X )
E(Y )
E( XY)
4 xf (x, y) dxdy .......................2 分 5 0 0
1 3 2 x .......................4 分 y f (x, y) dxdy y 12y dxdy
5 0 0
1 1 2 x xy f ( x, y )dxdy xy 12 y dxdy .......................6 分
2
1
x
2 x 12 y dxdy 0 0
因为 E(XY) E(X ) E(Y) ，所以 X 与Y 是相关的。 .......................8 分
十一、（7 分）
解：
E( X) xf (x, )dx
n
2x
x dx
0
2
2 x | 2 . 0
3
3
2
.........................33 分
1
令E(X )
n
i 1
X .............................................................................5
分
i
的矩估计为
n
3 ＝ 2n
i 1
X ................................................... 7分
i
十二、（5 分）
29
解：
因为 ＝1
，所以
0. 95＝1 0.05 .......... .......... .1分
的置信度为 的置信区间为
（X u
/ 2
, X u
/ 2
)...................................3分 n
n
＝0.05 ＝0. 025 u 1. 96 n 100 X / ＝ 其中
2 ， ， ， ＝ ，
2
5.........................................4
分
所求区间为
（4 .804，5 .196）.........................................................5
分
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