第 1 节
平面向量的概念及线性运算
基础梳理
1．向量的有关概念 (1)向量：既有 又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 (或称 )． (2)零向量： 的向量叫做零向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于 个单位的向量． (4)平行向量：方向 或 的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做 向量，任 一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0 与任一向量 (5)相等向量：长度 且方向 的向量． (6)相反向量：与 a 长度 ，方向 的向量，叫做 a 的相反向量． 2．向量的加法运算及其几何意义
(1)三角形法则：已知非零向量 a、 b，在平面内任取一点 A，作 AB ＝a，BC ＝b，则向量 AC
叫做 a 与 b 的
，记作 a＋b，即 a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ，这种求向量和的方法，称为
向量加法的 ．
(2)平行四边形法则：以同一点 O 为起点的两个已知向量 a、b 为邻边作 OACB，则以 O 为
起点的对角线 OC 就是 a 与 b 的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法
则．
(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出， 如图所示．
3．向量的减法运算及其几何意义
(1)定义： a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量 的 ．
(2)如图， AB ＝a， AD ＝b，则 DB ＝a－b.
4．向量数乘运算及其几何意义
(1)定义：实数λ 与向量 a 的积是一个向量，记作λ a，它的长度与方向规定如下： ①|λ a|＝|λ ||a|；
②当λ ＞0 时，λ a 的方向与 a 的方向 ；当λ ＜0 时，λ a 的方向与 a 的方向 当λ ＝0 时，λ a＝0.
；
(2)运算律
设λ ，μ 是两个实数，则 ①λ (μ a)＝(λ μ ) a；
②(λ ＋μ ) a＝λ a＋μ a； ③λ (a＋b)＝λ a＋λ b.
(3)两个向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ ，使 b＝λ
a.
典例分析
向量的有关概念
【例 1】 给出下列各命题： ①零向量没有方向； ②若|a|＝|b|，则 a＝b； ③单位向量都相等； ④向量就是有向线段； ⑤若 a＝b，b＝c，则 a＝c；
⑥若四边形 ABCD 是平行四边形，则 AB ＝ DC ， BC ＝ DA .
其中真命题是________．
向量的线性运算
【例 2】 (2010 年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分∠ACB.设 CB―→ ＝a，CA―→＝b，|a|＝1，|b|＝2，则 CD―→等于( )
1 2 2 1 (A) a＋ b (B) a＋ b
3 3 3 3 3 4 4 3 (C) a＋ b (D) a＋ b
5 5 5 5
变式探究 21：(2010 年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点 O、A、B、C.若 OA―→
|AB―→|
－3OB―→＋2OC―→＝0，则 等于______．
|BC―→|
向量共线与三点共线问题
【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线，
(1)若 AB ＝a＋b， BC ＝2a＋8b， CD ＝3(a－b)，
求证：A、B、D 三点共线；
(2)试确定实数 k，使 ka＋b 和 a＋kb 共线．
变式探究 31：已知向量 a、b 不共线，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果 c∥d，那么( (A)k＝1 且 c 与 d 同向 (B)k＝1 且 c 与 d 反向
(C)k＝－1 且 c 与 d 同向 (D)k＝－1 且 c 与 d 反向
)
易错警示
错源一：零向量“惹的祸”
【例 1】 下列命题正确的是( )
(A)向量 a、b 共线的充要条件是有且仅有一个实数λ ，使 b＝λ a； (B)在△ABC 中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；
(C)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立； (D)向量 a、b 不共线，则向量 a＋b 与向量 a－b 必不共线
错源二：向量有关概念理解不当
【例 2】 如图，由一个正方体的 12 条棱构成的向量组成了一个集合 M，则集合 M 的元素个数为________．
第 2 节
平面向量基本定理及其坐标表示
基础梳理
1．向量的夹角
(1)定义：已知两个非零向量 a 和 b，如图，作 OA ＝a， OB ＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量 a
与 b 的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ .
(2)范围：向量夹角θ 的范围是[0，π ]，a 与 b 同向时，夹角θ ＝0；a 与 b 反向时，夹角θ ＝π .
(3)垂直关系：如果向量 a 与 b 的夹角是 90°，我们说 a 与 b 垂直，记作 a⊥b.
质疑探究 △1：在 ABC 中，设 AB ＝a， BC ＝b，则 a 与 b 的夹角是∠ABC 吗？
2．平面向量基本定理
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ 1，λ 2，使 a＝λ 1e1＋λ 2e2.
我们把不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组
．
质疑探究 2：平面内任一向量用两已知不共线向量 e1、e2 表示时，结果唯一吗？平面内任何 两个向量 a、b 都能作一组基底吗？
3．平面向量的正交分解与坐标表示 (1)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解．
(2)平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量 i、j 作为基底．对于 平面内的一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得 a＝xi＋yj， 则有序数对(x，y)叫做向量 a 的坐标，记作 a＝(x，y)，其中 x，y 分别叫做 a 在 x 轴、y 轴上 的坐标，a＝(x，y)叫做向量 a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相 等向量．
4．平面向量的坐标运算
(1)已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB ＝(x2－x1，y2－y1)．
(2)已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λ a ＝(λ x1，λ y1)，a∥b(b≠0)的充要条件是 x1y2－x2y1＝0. (3)非零向量 a＝(x，y)的单位向量为
11
± a 或± (x，y)． |a|
x2＋y2 (4)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝b
1 1？ 质疑探究 3：若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a∥b 的条件能否可以写成 x＝ y
??x1＝x2
. ?
??y1＝y2
提示：不能，因为 x2，y2 有可能为 0，应表示为 x1y2－x2y1＝0.
x2 y2
典例分析
平面向量基本定理及其应用
【例 1】 如图，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 DC，BC 的中
点，已知 AM ＝c， AN ＝d，试用 c，d 表示 AB ， AD .
向量坐标的概念及运算
1 1
【例 2】 已知点 A(－1,2)，B(2,8)以及 AC―→＝ AB―→，DA―→＝－ BA―→，求点 C、
3 3
D 的坐标和 CD―→的坐标．
1
变式探究 21：(2010 年山东临沂联考)已知 A(7,1)、B(1,4)，直线 y＝ ax 与线段 AB 交于
2
C，且 AC―→＝2CB―→，则实数 a 等于( )
4 5
(A)2 (B)1 (C) (D)
5 3
共线向量的坐标运算
【例 3】 (2010 年高考陕西卷)已知向量 a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)
∥c，则 m＝________.
变式探究 31：(2010 年福州市质检)已知向量 a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若 a∥ b，则 2a＋3b 等于( )
(A)(－5，－10) (B)(－4，－8) (C)(－3，－6) (D)(－2，－4)
易错警示
错源：对共线向量不理解
【例题】 已知两点 A(2,3)，B(－4,5)，则与 AB―→共线的单位向量是( (A)e＝(－6,2)
)
3 10 10
， ) (B)e＝(－
10 10 －3 10 10 3 10 10
(C)e＝( ， )或 e＝( ，－ )
10 10 10 10
(D)e＝(－6,2)或(6，－2)
第 3 节
平面向量的数量积
基础梳理
1．数量积的定义
已知两个非零向量 a 与 b，其夹角为θ .我们把数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积)， 记作 a· b，即 a· b＝|a||b|cos θ .规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 2．数量积的几何意义 (1)向量的投影：| a |cos θ 叫做向量 a 在 b 方向上的投影，当θ 为锐角时，它是正数，当θ 为 钝角时，它是负数；当θ 为直角时，它是 0.
(2)a· b 的几何意义：数量积 a· b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积． 3．数量积的运算律
已知向量 a、b、c 和实数λ ，则： (1)交换律：a· b＝b· a；
(2)结合律：(λ a)· b＝λ (a· b)＝a·(λ b)； (3)分配律：(a＋b)· c＝a· c＋b· c.
质疑探究：若非零向量 a，b，c 满足①a· c＝b·c，则 a＝b 吗？②(a·b)· c＝a·(b·c)恒成立吗？ 提示：①不一定有 a＝b，因为 a· c＝b· c c·(a－b)＝0，即 c 与 a－b 垂直，但不一定有 a＝
中职数学基础模块下册第七单元《平面向量》word教案
