2019年全国初中数学竞赛试题
考试时间2019年3月20日9︰30－11︰30满分150
答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答
2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1、设x?5?3，则代数式x(x?1)(x?2)(x?3)的值为（ C ） 2A．0 B．1 C．－1 D．2
2、对于任意实数a,b,c,d，定义有序实数对(a,b)与(c,d)之间的运算“△”为：
(a,b)?(c,d)?(ac?bd,ad?bc)。如果对于任意实数u,v，都有(u,v)?(x,y)?(u,v)，那么(x,y)为（ B ）。
A．(0,1) B．(1,0) C．(?1,0) D．(0,?1)
533、已知A,B是两个锐角，且满足sin2A?cos2B?t，cos2A?sin2B?t2，则
44实数t所有可能值的和为（ C ）
8511A．? B．? C．1 D．
3334、如图，点D,E分别在△ABC的边AB，AC上，BE，CD相交于点F，设则S1S3与S2S4的大小关系为（ C ） S四边形EADF＝S1，S?BDF＝S2，S?BCF＝S3，S?CEF＝S4，
A A．S1S3＜S2S4 B．S1S3＝S2S4 C．S1S3＞S2S4 D．不能确定
B 11115、设S＝3＋3＋3＋?＋，则4S的整数部分等于（ A ） 31232011C
D F E
A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6、两条直角边长分别是整数a,b（其中b?2011），斜边长是b?1的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。
7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，3，4，5，6，8。同时掷这
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两枚骰子，则其朝上的面两数字之和为5的概率是＿＿＿＿。 8、如图，双曲线y?2(x?0)与矩形OABC的边xy E B F 19CB，BA分别交于点E，F且AF＝BF，连接EF，则
3△OEF的面积为＿＿＿＿＿；
2C 9、⊙O的三个不同的内接正三角形将⊙O分成的区域的个数为＿＿＿＿＿。28 ＿＿＿。5
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
11、已知关于x的一元二次方程x2?cx?a?0的两个整数根恰好比方程
x2?ax?b?0的两个根都大1，求a?b?c的值。
O A x 10、设四位数abcd满足a3?b3?c3?d3?1?10c?d，则这样的四位数的个数为
解：设方程x2?ax?b?0的两个根为α、β，其中α、β为整数，且α≤β
则方程x2?cx?a?0的两个整数根为α＋1、β＋1， 由根与系数关系得：α＋β＝－a，(α＋1)(β＋1)＝a 两式相加得：αβ＋2α＋2β＋1＝0即(α＋2)(β＋2)＝3
???2?1???2??3????1????5∴?或? 解得：?或? ???2?3???2??1???1????3又∵a＝－(α＋β)，b＝αβ，c＝－[(α＋1)＋(β＋1)] ∴a＝0，b＝－1，c＝－2或a＝8，b＝15，c＝6 故a?b?c＝－3或a?b?c＝29
12、如图，点H为△ABC的垂心，以AB为直径的⊙O1和△BCH的外接圆⊙O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点。 证明：如图，延长AP交⊙O2于点Q
连结AH，BD，QC，QH
∵AB为直径 ∴∠ADB＝∠BDQ＝900 ∴BQ为⊙O2的直径 于是CQ⊥BC，BH⊥HQ
∵点H为△ABC的垂心 ∴AH⊥BC，BH⊥AC ∴AH∥CQ，AC∥HQ，四边形ACHQ为平行四边形
则点P为CH的中点。
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A
O1 H D P C B O2 Q 13、若从1，2，3，…，n中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，
a5，其中总有一个整数是素数，求n的最大值。
解：若n≥49，取整数1，22，32，52，72，这五个整数是五个两两互素的不同的整
数，但没有一个整数是素数，∴n≤48，在1，2，3，┉┉，48中任取5个两两互素的不同的整数a1，a2，a3，a4，a5，
若a1，a2，a3，a4，a5都不是素数，则a1，a2，a3，a4，a5中至少有四个数是合数，不妨假设a1，a2，a3，a4为合数，
设a1，a2，a3，a4的最小的素因数分别为p1，p2，p3，p4 由于a1，a2，a3，a4两两互素，∴p1，p2，p3，p4两两不同 设p是p1，p2，p3，p4中的最大数，则p≥7
因为a1，a2，a3，a4为合数，所以a1，a2，a3，a4中一定存在一个
aj≥p2≥72＝49，与n≥49矛盾，于是a1，a2，a3，a4，a5中一定有一个是素数 综上所述，正整数n的最大值为48。
14、如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2AC。点P在△ABC内，且PA＝3，PB＝5，PC＝2，求△ABC的面积。
解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB＝∠PAC，∠ABQ＝∠ACP，
则△ABQ∽△ ACP，由于AB＝2AC，∴相似比为2 于是，AQ＝2 AP＝23，BQ＝2CP＝4
∠QAP＝∠QAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60° 由AQ：AP＝2：1知，∠APQ＝900 于是，PQ＝3AP＝3
∴BP2＝25＝BQ 2＋PQ 2 从而∠BQP＝900 作AM⊥BQ于M，由∠BQA＝1200，知 ∠AQM＝600，QM＝3，AM＝3，于是，
2
2
2
2
2
M A
Q P
B ∴AB＝BM＋AM ＝(4＋3)＋3＝28＋83
C
故S△ABC＝AB?ACsin600＝
1236?73AB 2＝ 82第 3 页 共 3 页
2019年全国初中数学竞赛试题及答案
