多元函数的极限与连续习题14?y)3x?2lim( 。1. 用极限定义证明:2x?1y?）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存0,0 讨论下列函数在（2. 在性。
y?x?y)f(x, ；1）（yx33yx??y)(x,f ；(3)
y?x11nnsis?(x?y)if(x,y) (2) ；
2y?x1ni?ysf(x,y) 。(4)
x22yx22)x?ylim(；
（1） 3. 求极限 0?x0?y22yx?lim；） （2 220?x11?x?y?0?y1sin)x?ylim(；3（）
） （4 22y?x0x?0y?22)y?sin(xlim。
在其定义域上是连
22y?x0?x0?yln(1?xy)??x?0?y)xf(,
续的。试证明函数4. ?x?0?yx?
2
14)??2ylim(3x 。1. 用极限定义证明:2?x1?yx?2,y?1|x?2|?0,|y?1|?0，，不妨设
因为5?|?4?|x?2|x?2|?|x?2?4| 有，22|?12?2y22y?14|?|3x?x|3? ?
?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|
?
?15[|x?2|?|y?1|] ?
???0，要使不等式
2
??1|]|y?x?15[|?2|?|3x?2y?14|成立 ?
， ， 30?????)x,y?(0???|y?|?1,||x?20???min{1,}：
30
??,1?min{}，于是 取
2
?)12,,y)?((x?|?14x?2y|3，即证。 且 ，有
2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。
x?y?,y)(fx；（1） ， yx?x?yx?y?1limllimlimim??1，
yxy?x?0??x0y?00xy?二重极限不存在。 x?yx?y1?0lilimm??。 ， 或
3?xx?yy0x?x0?xy?x?y2
11siny)sin)?(x?f(x,y； (2)
yx110?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|
yxlim(|x|?|y|)?0limf(x,y)?0。 可以证明 所以 x?x?00y?0y?0
111?xf(x,y)?(x?y)sinsin0y?极限不存在，，当时，11nnsii(x?y)slimlim 不存在，因此
不存在。
33
?kxy
yx0x?0y?11nnsi?y)silimlim(x 同理
yx0??0xy
yx?f(x,y)?； (3) 2yx?3x2limf(x,y)?lim?0，
2
x?x0x?x?0x?y23xx??y? 0,0）时有当 P(x, y)沿着趋于（3323)x?xx?(f(xlim,y)?lim?1，
322x?x?x0?x0x?32x?y?x?limf(x,y)不存在；所以
0?x0?y
0?,y)limlimf(xlimlimf(x,y)?0 。， 0x??0y?0x?0y 1sin?y(x,y)f (4)
0?x0?y
x1|y?ysin||0?| x0?y)f(x,lim， ∴
xx0?y0y?0x?x?0
11nmysin?0limlilimlimysi 不存在。 ，
22y2x2
)?ylim(x ）； （13. 求极限 0x?0y?222)y(x?222222|y|ln(x)?|?xyln(x?y)|?0 ，
42222t?y)(x22lim?0?limlntln(x?y) ， 又
44??0x?0t0?y2222)ln(xylimxy?22y22x)00?(,(x,y)1?(limxy)e??。 ∴ 0x?0y?
22
yx?lim ）； （2 220?x11??yx?0?y
)??(xy?y1)(1?xyx?lim?2?lim 。 221??y1?x220?x?0x1??y1?x0?0yy?
222222
1siny)lim(x?； ） （3
22y?x0??y)lim(x 而
22
0x?0y?
22yx?0?x0?y1|(x?y)sin|?|x?y|，
1lim(x?y)sin?0。 故
y?x0x?0?y
22
)?sin(xylim。） （4 22yx?0x?0?y??sinry?cosx?r，
令 ，
(x,y)?(0,0)r?0， 时，
222
r)x?ysinsin(lim?lim?1。
222ryx?0?0x?r0?y
多元函数的极限与连续习题
