基本不等式
知识梳理
1. 基本不等式：
（1）对任意a,b?R，有a?b___ab成立，当且仅当________时取等号.
2我们称______为a,b的算术平均，______为a,b的几何平均.
上面的基本不等式可以表述为_________________________________________
*
（2）对任意a,b，c?R，有
*a?b?c___3abc成立，当且仅当________时取等号. 3上面的基本不等式可以表述为_________________________________________
?,an?R*，（3）对任意a1,a2，有__________________成立，当且仅当_______时取等号.
2. 关于基本不等式的重要结论
（1）x,y?(0,??),且xy?p(定值)，那么当_____ 时，x?y有最_____值_______ （2）x,y,z?(0,??),且xyz?p(定值)，那么当______时,x?y?z有最___值____ （3）x,y?(0,??),且x?y?S(定值)，那么当_____ 时，xy有最_____值_______ （4）x,y，z?(0,??),且x?y?z?S(定值)，那么当____时，xyz有最___值______ 3.基本不等式的常见变形及有关结论
a2?b2(a,b?R) (1)a?b__2ab(a,b?R)； ab__222(a?b)2a?b2a?b__(a,b?R)；ab___()(a,b?R)
2222a?b2a2?b2()____(a,b?R)以上等号在________时成立 22a3?b3?c3___3abc(a,b,c?R?),当且仅当_________时，等号成立.
（2）若ab?0，则a?b____2 (当且仅当a__b时取“=”）
ba特别地
11?a____2(a?0),?a____2(a?0) aaa2?b2a?b2综上可知：______ab___(a,b?R)
1122?ab
3.误区警示
（1）在利用均值定理求最值时，要紧扣“一正、二定、三相等”的条件．“一正”是说每个项都必须为正值，“二定”是说各个项的和(或积)必须为定值．“三相等”是说各个项中字母取某个值时，能够使得各项的值相等．
（2）其中，通过对所给式进行巧妙分拆、变形、组合、添加系数使之能够出现定值是解题的关键．
（3）多次使用均值不等式时，要保持每次等号成立条件的一致性． 典型习题
1.已知a?1那么a?1的最小值是（ ） a?1A.2a B.5?1 C.3 D.2 a?12.已知?3?x?0，则y?x9?x2的最小值为( ) A.?9931 B. C.? D. 22223.下列函数中，y的最小值为4的是( )
442(x2?3)x?xA.y?x? B.y? C.y?e?4e D.y?sinx?(0?x??)
2xsinxx?211xy4.已知x?0,y?0,lg2?lg8?lg2，则?的最小值是( )
x3yA.2 B.22 C.4 D.23
3,(x?0)的最小值为________,此时x?______ x216.已知正实数a、b满足ab?2，则使得?取得最小值的实数对(a,b)ab5. 函数y?2x?2为 .
12??(??(0,))的最小值为 22sin?cos?2x?28.函数y?的最大值
2x?5159.函数y?2x?1?5?2x(?x?)的最大值 22610.当x?0时,y?2?3x的最小值为 ．
x?2x2?x?311. f(x)?的最____值为_____,此时x?_______
x7.函数y?
基本不等式
