第十二章 薄板的小挠度弯曲问题
一.内容介绍
薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的。 根据基尔霍夫假设，采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达。然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同，典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。 二.重点
1. 基尔霍夫假设；
2. 薄板的应力、广义力和广义位移； 3. 薄板小挠度弯曲问题的基本方程； 4. 薄板的典型边界条件及其简化。
知识点
薄板的基本概念、薄板的位移与应变分量、薄板广义力、薄板小挠度弯曲问题基本方程、薄板自由边界条件的简化、薄板的莱维解、矩形简支薄板的挠度、基尔霍夫假设、薄板应力、广义位移与薄板的平衡、薄板的典型边界条件、薄板自由边界角点边界条件、挠度函数的分解
§12.1 薄板的基本概念和基本假设
学习要点:
本节讨论薄板的基本概念和基本假设。
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。首先，根据几何尺寸，定义薄板为0.5≤?/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题。对于小挠度薄板，在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。 学习思路：
1. 薄板基本概念；
2. 基尔霍夫假设；
薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板。
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。两个平行面之间的距离称为板厚，用??表示。平分板厚的平面称为板的中面。
设薄板宽度为a,b，假如板的最小特征尺寸为b，如果?/b≥1/5，称为厚板；如果?/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤?/b≤1/5，称为薄板。厚板属于弹性力学空间问题，而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。
如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时，属于平面应力问题讨论。 如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷，则板主要变形为弯曲变形。中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。
对于薄板，仍然有相当的弯曲刚度，如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题；如果超过这个界限，属于大变形问题。本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。设中面为xy平面，则
1.
变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线，而且长度不变。这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示。
根据这一假设，?z＝?zx＝?zy＝0。
2. 垂直于中面方向的应力分量?z, ?zx，?zy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计。但是对于维持平衡是必要的。这相当于梁的弯曲无挤压应力假设。
3. 薄板弯曲时，中面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移，即
uz=0=0， vz=0=0， w=w(x, y)
根据这一假设，板的中面将没有变形发生。板的中面位移函数w(x, y)称为挠度函数。 根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析。实践证明是完全正确的。
根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。
§12.2 薄板小挠度弯曲问题的基本方程
学习要点:
根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w(x, y)。因此，薄板的小挠度弯曲问题求解采用位移解法。
本节的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w(x, y)表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
分析中应该注意，根据基本假设，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是忽略不计的。但是应该注意这些应力分量对于平衡的影响必须考虑。
通过分析可以得到薄板问题的广义力和对应的广义位移。根据单元体的平衡，可以得到关于广义力和广义位移的关系式。然后将其描述为挠度函数表达的薄板基本方程。 学习思路：
1. 位移与应变分量； 2. 应力分量；
3. 广义力；
4. 广义位移与平衡关系；
5. 薄板弯曲小挠度问题的基本方程。
1． 薄板位移和应变分量
根据薄板弯曲的第一个假设，则几何方程为
根据几何方程的第3式，则 ，从而w=w(x，y)。薄板厚度方向的位移与z坐
标无关，可以应用板的中面位移表达板的挠度。根据几何方程的5，6式，有
对z积分，可得
注意到第3个假设，uz=0=0, vz=0=0，因此 f(x，y)= g(x，y)=0，所以
上述分析将位移分量通过挠度函数w(x, y)表示。根据几何方程可以得到挠度函数表达的应变分量。有
薄板的小挠度弯曲问题
