解：（1）证明：如答图1所示，连接CO并延长，交AB于点E，
∵点O是△ABC的重心，∴CE是中线，点E是AB的中点。
∴DE是中位线。∴DE∥AC，且DE=∵DE∥AC，∴△AOC∽△DOE。
AC。
∴。
∵AD=AO+OD，
∴。
（2）答：点O是△ABC的重心。证明如下： 如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，
则点Q为△ABC的重心。
由（1）可知， ，
而，
∴点Q与点O重合（是同一个点）。 ∴点O是△ABC的重心。 （3）如答图3所示，连接DG．
设S△GOD=S，由（1）知，即OA=2OD，
∴S△AOG=2S，S△AGD=S△GOD+S△AGO=3S。
为简便起见，不妨设AG=1，BG=x，则S△BGD=3xS． ∴S△ABD=S△AGD+S△BGD=3S+3xS=（3x+3）S。 ∴S△ABC=2S△ABD=（6x+6）S。
设OH=k?OG，由S△AGO=2S，得S△AOH=2kS， ∴S△AGH=S△AGO+S△AOH=（2k+2）S。
∴S四边形BCHG=S△ABC﹣S△AGH=（6x+6）S﹣（2k+2）S=（6x﹣2k+4）S。
∴ ①。
如答图3，过点O作OF∥BC交AC于点F，过点G作GE∥BC交AC于点E，则OF∥GE。
∵OF∥BC，∴。∴OF=CD=BC。
∵GE∥BC，∴。∴。
∴，∴。
∵OF∥GE，∴。∴，即。
∴，代入①式得：
。
∴当x=时，有最大值，最大值为。
（1）如答图1，作出中位线DE，证明△AOC∽△DOE，可以证明结论。
（2）如答图2，作△ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为△ABC的重心．由（1）可知，，
而已知，故点O与点Q重合，即点O为△ABC的重心。
（3）如答图3，利用图形的面积关系，以及相似线段间的比例关系，求出二次函数，利用二次函数的性质求出其最大值。
的表达式，这是一个
二、二次函数中的存在性问题
一、知识点睛
解决“二次函数中存在性问题”的基本步骤：
①画图分析．研究确定图形，先画图解决其中一种情形．
②分类讨论.先验证①的结果是否合理，再找其他分类，类比第一种情形求解． ③验证取舍.结合点的运动范围，画图或推理，对结果取舍．
二、精讲精练
1. 如图，已知点P是二次函数y=-x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y=-2x沿y轴向上平．．
移，分别交x轴、y轴于A、B两点. 若以AB为直角边的△PAB与△OAB相似，请求出所有符合条件的点P的坐标．
y Byyyyy ABx x
OOOAxxOOxxOyyyyOxOOxxOxyyOOx2. 抛物线y??12?x?1??3与y轴交于点A，顶点为B，对称轴BC与x轴交于点C．点P在抛物线上，4直线PQ//BC交x轴于点Q，连接BQ．
（1）若含45°角的直角三角板如图所示放置，其中一个顶点与点C重合，直角顶点D在BQ上，另一个顶点E在PQ上，求直线BQ的函数解析式；
（2）若含30°角的直角三角板的一个顶点与点C重合，直角顶点D在直线BQ上（点D不与点Q重合），另一个顶点E在PQ上，求点P的坐标． y AB DE P OCQx y AB OCx y AB OCx
yABOCxyABOCxyABOCx
2024中考数学压轴题专项训练有答案
