2024-2024年高考数学二轮复习教案(11)解三角形 新人教A版
【专题要点】
正、余弦定理公式及其变形公式，三角形面积公式，三角形形状的判断（化边为角或化角为边），正、余弦定理的应用举例（如：测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题，计算面积问题、航海问题、物理问题等）
【考纲要求】
1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题 【知识纵横】
?abc?（1）公式：???2R??sinAsinBsinC???????(1)a:b:c?sinA:sinB:sinC?正弦定理????2）变形公式：（?(2)a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC????abc??(3)sinA?,sinB?,sinC????2R2R2R????解三角形???1）公式：a2?b2?c2?2bccosA,b2?a2?c2?2accosB,c2?a2?b2?2abcosC（???余弦定理?b2?c2-a2a2?c2-b2a2?b2-c2（cosA?,cosB?,cosC???2）变形公式：2bc2ac2ab?????A:已知两角及任一边，求其它边角???(1)正弦定理解决两类问题：???B：已知两边及一边的对角，求其它边角?正、余弦定理在解三角形中的应用??A:已知两角及夹角问题??(2)余弦定理解决两类问题：????B：已知三边问题??????????实际应用? ??【教法指引】
本节是高考必考内容，重点为正余弦定理及三角形面积公式，考题灵活多样，因此，在实际教学中应注意：
1．根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在对于正弦定理和余弦定理的证明的探究过程中，应该因势利导，根据具体教学过程中学生思考问题的方向来启发学生得到自己对于定理的证明。如对于正弦定理，可以启发得到有应用向量方法的证明，对于余弦定理则可以启发得到三角方法和解析的方法。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法
2．适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力。教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题
【典例精析】
例1．（1）在中，已知，，cm，解三角形；
（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。 解析：（1）根据三角形内角和定理，；
asinB42.9sin81.80根据正弦定理，b???80.1(cm)；
sinAsin32.00asinC42.9sin66.20根据正弦定理，c???74.1(cm).
sinAsin32.00bsinA28sin400（2）根据正弦定理，sinB???0.8999.
a20因为＜＜，所以，或
asinC20sin760①当时， C?180?(A?B)?180?(40?64)?76，c???30(cm). 0sinAsin4000000②当时，C?1800?(A?B)?1800?(400?1160)?240，
点评：应用正弦定理时（1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器
例2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。
（1）判断△ABC的形状； （2）求△ABC的面积
解：（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#） B=,
sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，
cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，△ABC是直角三角形
（2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又△ABC最小角的正弦值为，Rt△ABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为 S△ABC==16
小结：此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以 例3．（1）在ABC中，已知，，，求b及A； （2）在ABC中，已知，，，解三角形
解：（1）∵
=(23)2?(6?2)2?2?23?(6?2)cos =12?(6?2)2?43(3?1) = ∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：
b2?c2?a2(22)2?(6?2)2?(23)21??, ∴ 解法一：∵cosA?2bc22?22?(6?2)解法二：∵sin 又∵＞＜∴＜，即＜＜ ∴
（2）由余弦定理的推论得： cos ； cos ；
? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)点评：应用余弦定理时解法二应注意确定A的取值范围 例4．（xx湖南卷文）在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 . 答案 ：2 解：设由正弦定理得
ACBCACAC?,??1??2.
sin2?sin?2cos?cos?由锐角得0?2??90?0???45，
又0?180?3??90?30???60，故30???45?23?cos??， 22?AC?2cos??(2,3).
例5．（xx浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，． （I）求的面积； （II）若，求的值．
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