专题02函数
易错点1 换元求解析式时忽略自变量范围的变化
?典例分析
已知f(x?1)＝3?x，求f（x）的解析式.
【错解】令x?1?t，则x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2，即有f（x）＝2－x2.
【错因分析】本例的错误是由于忽视了已知条件中“f”作用的对象“x?1”是有范围限制的．利用换元法求函数的解析式时，一定要注意换元后新元的限制条件．
【试题解析】令x?1?t，则t≥0，且x＝t2＋1，所以f（t）＝3－（t2＋1）＝2－t2（t≥0）， 即f（x）＝2－x2（x≥0）．
【参考答案】f（x）＝2－x2（x≥0）．
利用换元法求函数解析式时，一定要注意保持换元前后自变量的范围．
1．已知f2?x?1?x?2x，则f?x??
B．x2?1 D．x2?1
22?A．x?1?x?1? C．x?1?x?1?
2【解析】（换元法）：令t?2x?1，则x??t?1?,t?1，所以f?t???t?1??2?t?1??t2?1?t?1?，
所以f?x??x?1?x?1?．故选A． 【答案】A
易错点2分段函数的参数范围问题
?典例分析
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设函数f(x)???3x?1,x?1x?2,x?1a,则满足f(f(a))＝2f??的a的取值范围是
232C．[,??)
3A．[,1]
【错解】当a<1时，f（a）＝3a－1， 此时f（f（a））＝3（3a－1）－1＝9a－4，
B．[0,1] D．[1，＋∞）
2f??＝23a－1，方程无解．
a当a≥1时，f?a?＝2?1，
a此时f2f?a?＝22， ?f?a??＝22，aa方程恒成立，故选D．
【错因分析】对字母a的讨论不全而造成了漏解，实际上应先对3a－1与1的大小进行探讨，即参数a的2
分界点应该有2个，a＝或a＝1，所以在分段函数中若出现字母且其取值不明确时，应先进行分类讨论．
3【试题解析】①当a?2时，f?a?＝3a－1?1，f?f?a??＝3(3a－1)－＝19a－4,2f?a?＝23a－1，显然3f?f?a???2f(a).
2
②当≤a<1时，f?a?＝3a－1?1，f3③当a?1时，f?a?＝2?1，fa?f?a??＝22a3a－1,aa2f??＝23a－1，故f?f?a??＝2f??.
?f?a??＝2，2f?a?＝22，故f?f?a??＝2f??.
aa2
综合①②③知a≥. 3【参考答案】C
求分段函数应注意的问题：在求分段函数的值f（x0）时，首先要判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．
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??1?x???,a?x?02．已知函数f?x????的值域是??8,1?，则实数a的取值范围是 ?2??2??x?2x,0?x?4A．???,?3 C．?3,?1
?
B．?3,0? D．??3?
???
【解析】当0≤x≤4时，f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1，图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=1， 故函数f（x）在[0，1]上单调递增，[1，4]上单调递减，此时函数f（x）的取值范围是[﹣8，1]，
12111∵y=﹣()x，a≤x＜0单调递增，∴只需?()a??8，?()0?1即可，解得﹣3≤a＜0.
222又函数f（x）的值域为[﹣8，1]，∴y=﹣()x，a≤x＜0的值域为[﹣8，1]的子集， 故选B． 【答案】B
易错点3 对单调区间和在区间上单调的两个概念理解错误
?典例分析
若函数f（x）＝x2＋2ax＋4的单调递减区间是（－∞，2]，则实数a的取值范围是________.
【错解】函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a，由于函数在区间（－∞，2]上单调递减，因此－a≥2，即a≤－2.
【错因分析】错解中把单调区间误认为是在区间上单调．
【试题解析】因为函数f（x）的单调递减区间为（－∞，2]，且函数f（x）的图象的对称轴为直线x＝－a， 所以有－a＝2，即a＝－2. 【参考答案】a＝－2
单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间是I，指的是函数递减的最大范围为区间I.而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件的含义．
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3．已知函数f?x??x?2?a?1?x?2在区间???,5上为减函数，则实数a的取值范围为__________．
2?【解析】∵函数y?x?2?a?1?x?2的图象是开口方向朝上，以直线x?1?a为对称轴的抛物线，
2若函数y?x?2?a?1?x?2在区间???,5上是减函数，则5?1?a，即a??4．
2?【答案】a??4
易错点4 忽略定义域的对称导致函数奇偶性判断错误
?典例分析
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝（x－1）1－x2
（2）f（x）＝.
|x＋2|－2【错解】（1）f（x）＝（x－1）·x＋1
＝x2－1. x－1
x＋1
； x－1
∵f(?x)=(?x)2?1=f(x)，∴f（x）为偶函数．
1?(?x)21?x2＝（2）f(?x)＝，
|?x?2|?2|x?2|?2∵f（－x）≠－f（x）且f（－x）≠f（x），∴f（x）为非奇非偶函数．
【错因分析】要判断函数的奇偶性，必须先求函数定义域（看定义域是否关于原点对称）．有时还需要在定义域制约条件下将f（x）进行变形，以利于判定其奇偶性． x＋1【试题解析】（1）由≥0得{x|x＞1，或x≤－1}，
x－1∵f（x）定义域关于原点不对称， ∴f（x）为非奇非偶函数．
?1－x2≥0?
（2）由?得－1≤x≤1且x≠0，定义域关于原点对称，
?|x＋2|－2≠0?
1－x21－x2
又－1≤x≤1且x≠0时，f（x）＝＝，
xx＋2－2
1?(?x)21?x2∵f(?x)＝＝???f(x)，
?xx∴f（x）为奇函数．
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【参考答案】（1）非奇非偶函数；（2）奇函数．
根据函数奇偶性的定义，先看函数的定义域是否关于原点对称，若是，再检查函数解析式是否满足奇偶性的条件．
函数奇偶性判断的方法 （1）定义法：
（2）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用在解选择填空题中．
4．下列函数为奇函数的是 A．y?lnx
B．y?e D．y?e?e
x?xxC．y?xsinx
【解析】对于选项A，定义域为?0,???，不关于原点对称，故不是奇函数，所以选项A错； 对于选项B，f??x??e?x?1??f?x?，故不是奇函数，所以选项B错； xe对于选项C，f??x???xsin??x???x??sinx??xsinx?f?x?，所以y?xsinx为偶函数，故选项C错；
对于选项D，f??x??e?x?ex??ex?e?x??f?x?，所以函数y?e?e为奇函数，故选项D正
x?x??确. 故选D. 【答案】D
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备战2021年高考数学(理)纠错笔记专题02 函数-(原卷版)
