数学建模方法详解--模糊数学

由天下分享时间：2025/1/18 10:02:13 加入收藏我要投稿点赞

数学建模方法详解--模糊数学

在生产实践、科学实验以及日常生活中，人们经常会遇到模糊概念（或现象）。例如,大与小、轻与重、快与慢、动与静、深与浅、美与丑等都包含着一定的模糊概念。随着科学技术的发展，各学科领域对于这些模糊概念有关的实际问题往往都需要给出定量的分析，这就需要利用模糊数学这一工具来解决。

模糊数学是一个较新的现代应用数学学科，它是继经典数学、统计数学之后发展起来的一个新的数学学科。统计数学是将数学的应用范围从确定性的领域扩大到了不确定性的领域，即从必然现象到偶然现象，而模糊数学则是把数学的应用范围从确定性的领域扩大到了模糊领域，即从精确现象到模糊现象。在各科学领域中，所涉及的各种量总是可以分为确定性和不确定性两大类。对于不确定性问题，又可分为随机不确定性和模糊不确定性两类。模糊数学就是研究属于不确定性，而又具有模糊性的量的变化规律的一种数学方法。本章对于实际中具有模糊性的问题，利用模糊数学的理论知识建立数学模型解决问题。

1.1 模糊数学的基本概念

1.1.1 模糊集与隶属函数 1. 模糊集与隶属函数

一般来说，我们对通常集合的概念并不陌生，如果将所讨论的对象限制在一定的范围内，并记所讨论的对象的全体构成的集合为U，则称之为论域（或称为全域、全集、空间、话题）。如果U是论域，则U的所有子集组成的集合称之为U的幂集，记作F(U)。在此，总是假设问题的论域是非空的。为了与模糊集相区别，在这里称通常的集合为普通集。

对于论域U的每一个元素x?U和某一个子集A?U，有x?A或x?A，二者有且仅有一个成立。于是，对于子集A定义映射

?A:U?{0,1}

即

?1,x?A,?A(x)???0，x?A,

则称之为集合A的特征函数，集合A可以由特征函数唯一确定。

所谓论域U上的模糊集A是指：对于任意x?U总以某个程度?A(?A?[0,1])属于A，而不能用x?A或x?A描述。若将普通集的特征函数的概念推广到模糊集上，即得到模糊集的隶属函数。

定义1.1 设U是一个论域，如果给定了一个映射

?A:U?[0,1]x??A(x)?[0,1]

则就确定了一个模糊集A，其映射?A称为模糊集A的隶属函数，?A称为x对模糊集A的隶属度。

定义1.1表明，论域U上的模糊集A由隶属函数?A来表征，?A的取值范围为闭区间[0,1]，?A的大小反映了x对模糊集A的从属程度，?A值接近于1，表示x从属A的程度很高，?A值接近于0，表示x从属A的程度很低，使?A?0.51 / 15

的点

称为模糊集A的过渡点。

当?A的值域为{0,1}时，?A退化为普通集的特征函数，模糊集A蜕变为普

x0通集，所以模糊集是普通集概念的推广。

对于一个特定论域U可以有多个不同的模糊集，记U上的模糊集的全体为F(U)，即F(U)?{A?A:U?[0,1]}，

则F(U)就是论域U上的模糊幂集，显然F(U)是一个普通集，且U?F(U)。 2.模糊集的表示法

当论域U?{x1,x2,?,xn}为有限集时，若A是U上的任一模糊集，其隶属度为?A(xi)(i?1,2,?,n)，通常有如下三种表示方法：

1）Zadeh表示法：

n?(x)?(x)?(x)?(x)A??Ai?A1?A2???Anxix1x2xni?1

?(x)?0的元素集称为模糊集合A的支集。

在论域U中，Aix?(x)2）序偶表示法：将论域中的元素i与其隶属度Ai构成序偶来表示A

A?{(x1,?A(x1)),(x2,?A(x2)),?,(xn,?A(xn))}

此种表示方法隶属度为0的项可不写入。

3）向量表示法：

A?{?A(x1),?A(x2),?,?A(xn)}

在向量表示法中，隶属度为0的项不能省略。

当论域U为无限集时，则U上的模糊集A可以表示为

?(x)A??AUx

3.模糊集的运算

模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。

定义1.2 设模糊集A,B?F(U)，其隶属函数为?A(x),?B(x)。

1）若对任意x?U，有?B(x)??A(x)，则称A包含B，记B?A； 2）若B?A且A?B，则称A与B相等，记为B?A。

定义1.3 设模糊集A,B?F(U)，其隶属函数为?A(x),?B(x)，则称A?B,A?B分别为A与B的并集与交集；称AC为A的补集或余集，它们的隶属函数分别为

?A?B(x)??A(x)??B(x)?max(?A(x),?B(x)) ?A?B(x)??A(x)??B(x)?min(?A(x),?B(x))

?AC(x)?1??A(x)

其中\?\,\?\分别表示取大运算与取小运算，称其为Zadeh算子。并且，并和交运算可以直接推广到任意有限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律等运算。

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1.1.2 隶属函数的确定方法

正确地确定隶属函数是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。然而，如何确定一个模糊集的隶属函数至今还是尚未完全解决的问题。隶属函数的确定过程，本质上应该是客观的，但每个人对于同一个模糊概念的认识理解又有差异，因此，隶属函数的确定又带有主观性。一般是根据经验或统计进行确定，也可由专家、权威给出。下面仅介绍几种常用的确定隶属函数的方法。不同的方法结果会不同，但隶属函数建立是否适合标准，要用实际使用的效果来检验。

1. 模糊统计方法

模糊统计方法可以算是一种客观方法，主要是在模糊统计试验的基础上，根据隶属度的客观存在性来确定，所谓的模糊统计试验必须包含下面的四个要素：

1）论域U。

x2）U中的一个固定元素0。

?3）U中的一个随机变动的集合A（普通集）。

??4）U中的一个以A作为弹性边界的模糊集A，对A的变动起着制约作用。

x其中或，致使0对A的隶属关系是不确定的。

假设做n次模糊统计试验，则可计算出

x0?A?的次数x0A对的隶属频率?

nx事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其频率的稳定值称为0对Ax0?A?x0?A?的隶属度，即

x0?A?的次数?A(x0)?limn??n

2. 例证法