探讨点估计的高估与低估问题
张 艳
【摘 要】摘要：在参数的点估计理论中，无偏性是估计量好坏的衡量标准之一.但某些参数的点估计不是无偏的，很多情况下，估计量总是系统性地高估或低估参数.本文通过几个实例探讨了这类问题，且通过求这些有偏估计的期望获得了其高估或低估的趋势，并通过一定的变换使其成为参数的无偏估计. 【期刊名称】教育教学论坛 【年(卷),期】2017(000)052 【总页数】2
【关键词】点估计；无偏估计；高估；低估 【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_education-teaching-
forum_thesis/0201220922250.html
一、前言
下几个常见点估计的高估与低估问题.
点估计是参数估计理论中最基本的一种方法和形式，常用的点估计方法有最大似然估计法和矩估计法.为了衡量估计量的优劣，无偏性是常用的准则之一.所谓无偏估计量，文献[1]第七章第三节给出了如下定义：
定义设X1，X2，…，Xn是总体X的一个样本，θ∈Θ是包含在总体X分布中的待估参数.若估计量（X1，X2，…，Xn）的数学期望E（）存在，且对于任意θ∈Θ有E（）=θ（1），则称是θ的无偏估计量.
对于无偏估计量，可以从以下角度理解.根据（1）式有E（）-θ=0，即无偏估计的系统偏差为零.具体来说，对于某些样本值，基于估计量（X1，X2，…，
Xn）得到的估计值等于参数真值，偏差为零，而对于另一些样本值得到的估计值大于或者小于参数真值，偏差为正或者为负，但反复将这一估计量使用多次，即可使这些正负偏差在平均意义下为零.无偏估计量在数理统计中的应用非常广泛.
然而，更多参数的点估计并不是无偏的，即E（）≠θ，?θ∈Θ.此时称为θ的有偏估计量.在这些有偏估计量中，有一类具有特点：不论在什么样的样本值下，基于这些估计量得到的估计值总会系统地大于或小于真值，即E（）＞θ或者E（）＜θ，?θ∈Θ.这种偏差大于零或者小于零呈现一种必然的趋势，不像无偏估计的偏差在零附近波动.这种趋势一般可以通过求其期望的形式获知，进而可以通过一定的变换使其成为无偏估计量.下面我们以几个例子探讨一
二、三个常见点估计的高估或低估例子
例1.设总体X～N（μ，σ2），μ，σ2为未知参数，X1，X2，…，Xn为来自X的一个样本，x1，x2，…，xn为其观测值，则由文献[1]第七章第一节点估计的例5知，S2n=为σ2的最大似然估计，容易验证并不是σ2的无偏估计，试探讨其高估还是低估了σ2.
解：由文献[1]第六章（3.20）式知样本方差才是σ2的无偏估计，即E（S2）=σ2.不难发现和S2只是系数不同，且有如下关系，因此E
故不论对于什么样的样本值，总是系统地低估σ2.由（2）式易知存在与n有关的常数使得
即经过乘以的变换之后成为了σ2的无偏估计.
例2.在例1中已经提到样本方差是σ2的无偏估计，试判断样本标准差S=是否是样本方差σ的无偏估计.如若不是无偏估计，试探讨其高估还是低估了σ.
解：首先计算E（S）.
显然E（S）≠σ，故S不是σ的无偏估计.
现在来判断S是高估还是低估了σ.根据文献[2]第四章第三节有σ2=E（S2）=Var（S）+［E（S）］2≥［E（S）］2，
故σ≥E（S），即用S去估计σ总是系统性地低估.又由以上计算E（S）的结果知，存在常数使得S经过乘以Cn的变换后成为σ的无偏估计.
例3.设总体X～U（0，θ），X1，X2，…，Xn为来自X的一个样本，x1，x2，…，xn为其观测值，则θ的最大似然估计为=X（n）=max{X1，…，Xn}.判断=X（n）是否是θ的无偏估计.如若不是无偏估计，试探讨其高估还是低估了θ.
三、总结
本文通过三个例子探讨了几个常见点估计的高估或低估问题，并通过求估计量的期望，找到了常数Cn，使得Cn成为待估参数θ的无偏估计.此外，作者还发现在单因素方差分析的方差估计中也有高估情形，即当各总体均值不全相等时（即H0不成立），用因素的均方估计σ2会高估，而当总体均值全相等时（H0成立），因素的均方则成为σ2的无偏估计. 参考文献：
[1]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计[M].第4版.北京:高等教育出版社,2008:154-159,224-230.
[2]陈希孺.概率论与数理统计[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2009:163-164. 【文献来源】
https://www.zhangqiaokeyan.com/academic-journal-cn_education-teaching-
forum_thesis/0201220922250.html
探讨点估计的高估与低估问题
