导数有关的构造函数
、几种导数的常见构造
1、 对于 f (x) g (X),构造 h(x) = f(X)- g(x)； 若遇到 f(x) .a(a = O),则可构造 h(x) = f(x)-ax 2、 对于 f (x) g (x)
'
0 ,构造 h(x) = f(X)g(x)
X
3、 对于 f (X) f(x) 0 ,构造 h(x) =e f (x) 4、 对于 f (X) - f (X) 0 ,构造 h(x) = 5、 对于 Xf (x) f (x)
'
e
0 ,构造 h(x) = Xf (x)
f ( X )
6、 对于 Xf (X) - f (X) 0 ,构造 h(x)=
X
n
7、 对于Xf (X) ? nf(x) _0,构造h(x) =x f(x)(注意对X的符号进行讨论) &对于Xf'(X) - nf(x) _0 ,构造h(x)二丄単(注意对X的符号进行讨论)
'
X
f ( x)
9、 对于 xln Xf (X) - f (X) 一0 ,构造 h(x)=
ln X 10、 对于
f (X)
0 ,构造 h(x) = ln | f (x) |
1
f(x)
二、典型例题
例题1、定义在R上的函数 X f (X)满足f(1) =1 ,且对于任意x? R都有f (X)::：-,则
2
2
2
x +1
的解集是(
)
不等式f(x )
A. (1,2) B. (0,1) C. (1,二) D. (-1,1)
1
练习1、已知函数 X f(x)(x? R)满足f (1) =1，且满足f'(x)::：,则f(x)::：
X 1
的解
2
集是(
)
2 2
A. {x | T ：：： X ：： 1} B. {X| X “ T} C. {XIX T或例题2、已知函数y = f (x)为R上的可导函数，满足
X 1} D. {x| x 1}
)
f (x) ? f'(x),则有(
A.
e2015f(-2015) ：： f(0), f(2015 e2015f(0)
B. e2015f (-2015) ：： f(0), f (2015 ：： e2015f(0) C. e2015f (-2015) D. e2015f (-2015)
f(0), f (2015) e2015f(0) f(0), f(2015 < e2015f(0)
X R都有 f (x) . f'(x),且 f (x)
1 为
练习2、定义在R上的函数讨=f (x),若对于任意
x
奇函数，则不等式f (χ) ■ e ：：： 0的解集为(
B. (0,：：)
1
C.(」：，)
^f(X I)的图像关于直线 X - 一1对称,
1 1
且当 X (- ：： ,0)时，f (χ) Xf (χ) ：：： 0成立。若 (Sin ) f (sin )， b = (In 2) f (In 2)，
2 2 1 1
C= (log 1 一)f (log 1 一)，则 a, b, C 的大小关系是(
2 4 2 4
A. a ■ b C B. b a C C. Cab D. a C b
练习3、函数y=√(x)是定义在(0, = )上的非负可导函数，且满足 xf'(x) - f(x)乞0,对 任意整数a,b ,若a ：：： b ,则必有(
)
)
e
例题3、已知定义在 R上的函数y = f (X),满足y
A. af (b)二bf (a) B. bf(a)二af(b) C. af(a)二 f(b) D. bf(b)二 f(a)
例题4、函数y = f (x)对任意x?(,)满足f (X)COSX ? f(x)sinx 0 ,则下列不等 2 2 式成立的是(
)
B. D. f (0) 二 二 '
/— π A. 2f (-
C. f (0)
π
) ■■ f( - ) 3 4 2f(—) 3
π π 3)\(4)
、2f (―)
π
2
4
,
练习4、定义在(0,—)上的函数y = f (x),满足f(x) ：：： f (x)tanx成立，则(
π
A. 3f( ) B. f (1) ：： 2f
4 3 (-)sin1
π i- π 6
厂 Tt π C. 2f(;) f (匚)
6 4 D. -3f^b: f(；)
例题5、函数f (X)满足f (1) =4, f'(χ) ：3 ,则不等式f (ln x)
厂 JI
/- π 2f ()
3l nx T的解集为()
A. (1, B. (e,二) C. (0,1) D. (0,e)
练习5、已知函数严=f(x)满足f(χ) .1 一 f'(χ)且f(0) =2 ,则不等式ex f (x) . ex 1的 解集是
A. ( - ：： ,0) (1, ：：) B. ( -1√ ：：) 三、当堂检测
C. (0, ：：)
D. ( - ：：, -1) 一(0,：：)
1、已知函数y=f(x)在(0,=)上非负，且满足 xf'(x) - f(x)乞0 ,对于任意正数 m,n , 若m ：：： n ,则必有(
)
A. nf(m)^mf( n) B. mf(m)Mf( n) C. nf(n )^f(m) D. mf (n)三 n f (m)
2、已知定义在R上的函数y = f(χ),满足f'(x)：：：f(x),且f(x 2)为偶函数，f(4)=1， 则不等式f (x) < ex的解集为( A. (―2, ：：) B. (4, ：：) 四、课后巩固
1、函数y = f (X)是定义在 R上的奇函数，且 f (1) =0 ,当X 0时，有f(x) xf'(x)恒 成立，则不等式Xf(X) 0的解集是(
)
)
C. (1, ：：)
D. (0,：：)
A. (-：：,0) 一 (0,1) B. (-：：，-1) - (0,1) C. (-1,0) (1, ：：) D. (-1,0^. (0,1)
2
2、函数 y = f (x)是奇函数，且 f'(x) ：： X ,若 f (1 - m) - f (m)
C.(二三]
1 3 3
[(1 - m)- m ],则实 3
数m的取值范围是( )
2
满足 xf'(x) ：：： 2f(x)恒成
3、已知函数y =
f(x)的定义域为
1 1
(0/::),其导函数为f'(x)，
尹严
[
立，设函数g (x) A. 4f (1) ：： f (2)
B. 4f(1) f (2) C. f (1^：： 4f (2) D. f (1^：： 4f'(2)
4、奇函数y = f(x)的定义域为(-二,0) -(0,二)，其导函数为f'(x)。当0；：：x：：：二时，有
f'(x)s in X - f (x)cosx ：：： 0 ,则关于 X 的不等式 f(x)：—2f( )sinx 的解集为(
4
Jl
JlJl
JljlJrjl
)
A. (；,「：) B.( —「：，—；)-(；,二) C. (-丁,0) -(0,二)D.(-匚，0)-(匚，二)
4 4 4 4 4 4 4
(x 2016)2f(x 2016)-4f(-2) O 的解集为(
A. (-：：，-2016)
B. (-：：，-2018)
)
C. (-2018,0)
D. (-2016,0)
6、 设 f (X) =aχ2 ? bx ? c(a,b, c? R)， e是自然对数的底数，若 列各式正确的是(
)
2
f'(x)∣n x ? f(X),则下
X
2
A. f ⑵：：f (e)ln 2,2 f (e) f (e ) B. f ⑵：：f ⑹ In 2,2 f (e) ：： f (e )
2
C.
(e )
f(2)
f(e)ln2,2f (ep： f (e ) D. f(2) f(e)ln 2,2f (e) f
f'(x),g'(x)为其导函数，当x ：：：
2
7、 设f(x),g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数，
0
时，f'(x)g(x) f(x)g'(x) ■ 0 且 g(-3)=0 ,则不等式 f(x)g(x)：：：0 的解集为(
)
A. ( 一3,0) 一. (3, ：：) B. (一3,0) 一. (0,3) C.(一二，一3) 一. (3, ：：) D. (一：：，一3) 一.
(0,3)
导数有关的构造函数
