1、已知f(x)的定义域为R，且对任意实数x，y满足f(xy)?f(x)?f(y)，求
证：f(x)是偶函数。
2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y). (1)求f(1),f(-1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.
3、函数f(x)对任意x?y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, (1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 4、已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0 且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f( x?y),试证明 1?xy12(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减 5、已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的a,b?R,都满足: f(a?b)?af(b)?bf(a). (1)求f(0),f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性,并证明你的结论; 6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （1） 求证：f(0)=1； （2） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。 7、已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n)?11且f()?0,当x?时, f(x)>0. 221,2 (1)求f(1); (2) 判断函数f(x)的单调性,并证明. 8、函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x?R,有f(x)>0;②对任 1意x,y?R,有f(xy)?[f(x)]y;③f()?1. 3 (1)求f(0)的值; (2)求证: f(x)在R上是单调减函数; 9、已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数m,n都有f(m?n)?f(m)?f(n),且当x?0时,0?f(x)?1. (1)证明:f(0)?1,且x?0时,f(x)>1; (2)证明: f(x)在R上单调递减; 10、 函数 f(x)对于x>0有意义，且满足条件 f(2)?1,f(xy)?f(x)?f(y),f(x)是减函数。 （1）证明：f(1)?0； （2）若f(x)?f(x?3)?2成立，求x的取值范围。 11、 定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、 b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)， （3） 求证：f(0)=1； （4） 求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0； （3）证明：f(x)是R上的增函数； （4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。 12、 已知函数f(x),g(x)在R上有定义，对任意的x,y?R有 f(x?y)?f(x)g(y)?g(x)f(y) 且f(1)?0 （1）求证：f(x)为奇函数 （2）若f(1)?f(2)， 求g(1)?g(?1)的值 13、 已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x?y)?f(x)?f(y)且当x＞0， f(x)?0.又f(1)??2. (1)判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)在区间[－3,3]上的最大值； (3)解关于x的不等式f(ax2)?2f(x)?f(ax)?4. 14、定义在R上的函数f（x）对任意实数a、b都有 f（a+b）+ f（a－b）=2 f（a）·f（b）成立，且f(0)?0。 （1）求f（0）的值； （2）试判断f（x）的奇偶性； 15、已知定义在R上的函数f?x?满足： （1）值域为??1,1?，且当x?0时，?1?f?x??0； （2）对于定义域内任意的实数x,y，均满足：f?m?n??试回答下列问题： （Ⅰ）试求f?0?的值； （Ⅱ）判断并证明函数f?x?的单调性； 16、定义域为R的函数f(x)满足：对于任意的实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成 立，且当x＞0时f(x)＜0恒成立. (1)判断函数f(x)的奇偶性，并证明你的结论； (2)证明f(x)为减函数；若函数f(x)在[-3，3）上总有f(x)≤6成立，试确定f(1)应满足的条件； 11(3)解关于x的不等式f(ax2)?f(x)?f(a2x)?f(a),(n是一个给定的自然数,a?0)nn f?m??f?n? 1?f?m?f?n? 参考答案 1、分析：在f(xy)?f(x)?f(y)中，令x?y?1，得f(1)?f(1)?f(1)?f(1)?0 令x?y??1，得f(1)?f(?1)?f(?1)?f(?1)?0于是 f(?x)?f(?1?x)?f(?1)?f(x)?f(x) 故f(x)是偶函数 2、解析:(1)∵f(x)对任意x,y都有 f(xy)=yf(x)+xf(y), 令x=y=1,有f(1×1)=1·f(1)+1·f(1). ∴f(1)=0,令x=y=-1,有 f[(-1)×(-1)]=(-1)·f(-1)+(-1)·f(-1), ∴f(-1)=0. (2)∵f(x)对任意x,y都有f(xy)=yf(x)+xf(y), 令y=-1,有f(-x)=-f(x)+xf(-1). 将f(-1)=0代入,得f(-x)=-f(x). ∴函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数. 3、解析:(1)令x=y=0,f(0)=0, 令x=-y,可得f(-x)=-f(x), 设x1?x2∈(-∞,+∞)且x1>x2, 则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2) ∵x1>x2,∴x1-x2>0. 又∵x>0时,f(x)<0. ∴f(x1-x2)<0. 即f(x1)-f(x2)<0. 由定义可知f(x)在区间(-∞,+∞)上为单调递减函数. (2)∵f(x)在区间(-∞,+∞)上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数. ∴f(-3)最大,f(3)最小. f(-3)=-f(3)=2. 即f(x)在[-3,3]上最大值为2,最小值为-2. 4、思路分析：对于(1)，获得f(0)的值进而取x=－y是解题关键；对于(2)， 判定 x2?x1的范围是焦点 1?x1x2证明 (1)由f(x)+f(y)=f( x?y)可令x=y=0,得f(0)=0, 1?xyx?x令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) 1?x2∴f(x)为奇函数 (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减 令0 x2?x1) 1?x1x2∵0 x2?x1>0, 1?x2x1又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1, ∴0< x2?x1x?x<1,由题意知f(21)<0， 1?x2x11?x1x2即 f(x2) 5、（1）解：令a?b?0，则f(0)?0 令a?b?1，则f(1)?2f(1)?f(1)?0 （2）证明：令a?b??1，则f(1)?2f(?1)，∵f(1)?0，∴f(?1)?0 令a?x,b??1，则f(?x)?xf(?1)?f(x)??f(x) ∴f(x)是奇函数。 6、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1 （2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴f(?x)?1f(x) 由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0 ∴f(x)?1?0又f(?x)x=0时，f(0)=1>0 ∴对任意x∈R，f(x)>0 (3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ f(x2)?f(x2)?f(?x1)?f(x2?x1)?1 f(x1) ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数 （4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)， f(x)在R上递增 ∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0 1111117、（1）解：令m?n?，则f(?)?2f()??f(1)? 222222（2）任取x1,x2?R,且x1?x2,则 11f(x2)?f(x1)?f[(x2?x1)?x1]?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1)??f(x1)?f(x2?x1)?221 =f(x2?x1?)?0 2∴f(x1)?f(x2) ∴函数f(x)是R上的单调增函数.
自己整理抽象函数单调性及奇偶性练习及答案
