13解得 mm综上，当m＝0时，原不等式的解集为R； 当m>0时，原不等式的解集为 ??31??x?－ m???m当m<0时，原不等式的解集为 ??13? ?x? m???m 分式不等式的解法[学生用书P47] 解下列不等式： 2－x(1)≥0； x＋4 (2)?(4) ?x－2?>x－2； ??x?xx－2 >0. x＋3x＋2 2 x2－x－6(3)>0; x－1 ??（2－x）（x＋4）≥02－x【解】 (1)≥0??? x＋4?x＋4≠0???（x－2）（x＋4）≤0 ??{x|－4 (2)绝对值大于本身，值为负数，故?x(x－2)<0?{x|0 x－2 <0 xx2－x－6（x－3）（x＋2）(3)>0?>0?(x－3)(x＋2)(x－1)>0. x－1x－1 将上式的三个根－2，1，3在数轴上标出来，然后用一条曲线穿根(在最大根的右上方穿过)， 所以原不等式的解集为{x|－2 x－2x－2 >0?>0?(x－2)(x＋1)(x＋2)>0，把各因式的根在数轴 x＋3x＋2（x＋1）（x＋2） 2 上标出， 所以原不等式的解集为{x|－2 解分式不等式注意的问题 在分式转化为整式的过程中注意分母不为零，对于“≥”“≤”型的，转化后应变为不等式组．用穿根法时应注意根的实虚． 1.不等式 解析：原不等式等价于1 得x≥或x<0. 2 ??1 答案：?x|x≥或x<0? 2?? x＋1 ≤3的解集是________． xx＋11－2x2x－1 －3≤0?≤0?≥0?x(2x－1)≥0，且x≠0，解xxx2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，求关于x的不等式 集． 解：由于ax－b>0的解集为(1，＋∞)． 所以a>0，且＝1，则a＝b. 故不等式 ax＋b>0的解x－2 baax＋bax＋a>0可化为>0， x－2x－2 又因为a>0， 所以原式等价于 x＋1 >0?(x＋1)(x－2)>0. x－2 解得x>2或x<－1. 故原不等式的解集为 {x|x>2或x<－1}． 不等式恒成立问题[学生用书P48] 若关于x的不等式ax＋(2a－1)x＋a－2≤0对任意x∈R恒成立，求a的取值范 围． 【解】 ①若a＝0，不等式化为－x－2≤0不能对x∈R恒成立； ?a<0，?②若a≠0，则? 2 ?（2a－1）－4a（a－2）≤0，? 2 1 解得a≤－. 4 1??综上，要使不等式对x∈R恒成立，a的取值范围是?－∞，－?. 4?? 不等式恒成立问题的求解策略 (1)不等式ax2 ??a>0， ＋bx＋c>0对x∈R恒成立问题，应结合二次函数的图象等价于?或 a?Δ<0? ＝0，b＝0，c>0. (2)对于含参数的不等式恒成立问题，若参数的次数是一次且易于分离，可以变换主元，借助于一次函数的单调性求解． 1.若函数f(x)＝x－6kx＋k＋8的定义域为R，则实数k的取值范围是 ________． 解析：由题意得，不等式x－6kx＋k＋8≥0的解集为R，所以函数y＝x－6kx＋k＋8的图象在x轴上方，且与x轴至多有一个公共点．所以Δ＝(－6k)－4×1×(k＋8)≤0，整82 理得9k－k－8≤0，(k－1)(9k＋8)≤0，解得－≤k≤1. 9 2 2 2 2 ?8?所以实数k的取值范围是?－，1?. ?9??8?答案：?－，1? ?9? 2．对任意a∈[－1，1]，函数f(x)＝x＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，求x的取值范围． 解： 因为f(x)>0，所以x＋(a－4)x＋4－2a>0， 即(x－2)a＋(x＋4－4x)>0， 设g(a)＝(x－2)a＋(x－4x＋4)， 由题意知， ???g（1）>0，?x－2＋x－4x＋4＝x－3x＋2>0，?即? 22?g（－1）>0，??－x＋2＋x＋4－4x＝x－5x＋6>0，? 2 2 2 2 2 2 所以x<1或x>3. 所以x的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞). 1．一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系．解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的统一角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集．对于二次项系数为正，且对应方程存在两个根的情况下，不 等式的解是：大于取两边，小于取中间． 2．解含参数的不等式时，对于二次项系数，Δ与两根大小这三个方面，哪个不确定，就讨论哪个，多个不确定按顺序有层次的展开讨论． 3．分式不等式要注意同解变形，做到两个确定，一要确定不等式的一端为零，二要确定每个因式的最高次项系数为正． 4．含参数的二次不等式在某区间内恒成立问题，常有两种处理方法： ①是利用二次函数在区间上的最值来处理． ②是分离出参数再求函数的最值． 对于含参数的不等式问题，一般要进行分类讨论，分类讨论时，应做到不重不漏，才能正确解答．尤其要注意对x系数的讨论，这一点容易忽略． 1．不等式x－2x＋1＞0的解集是( ) A．R C．{x|x＞1} 答案：B 2．设集合M＝{x|x－x<0}，N＝{x||x|<2}，则( ) A．M∩N＝? C．M∪N＝M 22 2 2 B．{x|x∈R，且x≠1} D．{x|x＜1} B．M∩N＝M D．M∪N＝R 解析：选B.因为x－x<0，所以0 112 3．不等式x－(a＋)x＋1<0的解集为{x|a＜x＜}，则a的取值范围是________． aa122 解析：由题意可知a<，当a>0时，a<1，所以0 a所以所求a的取值范围为0 答案：(0，1)∪(－∞，－1) 4．若关于x的不等式x－4x≥m对任意x∈[0，1]恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：设f(x)＝x－4x＝(x－2)－4， 所以f(x)在x∈[0，1]上单调递减， 所以当x＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝－3. 所以要使x－4x≥m对于任意x∈[0，1]恒成立， 2 2 2 2 则需m≤－3. 答案：(－∞，－3] [A 基础达标] 1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x－2x＞0}，则?UA等于( ) A．{x|0≤x≤2} C．{x|x＜0或x＞2} B．{x|0＜x＜2} D．{x|x≤0或x≥2} 2 解析：选A.因为A＝{x|x＜0或x＞2}， 所以?UA＝{x|0≤x≤2}． 2．函数y＝x（x－1）＋x的定义域为( ) A．{x|x≥0} C．{x|x≥1}∪{0} B．{x|x≥1} D．{x|0≤x≤1} ??x（x－1）≥0 解析：选C.解不等式?，得x≥1或x＝0. ?x≥0? 12 3．不等式2x＋2x－4≤的解集为( ) 2A．[－1，3] C．[－3，1] B．[－3，－1] D．[1，3] 122－1 解析：选C.2x＋2x－4≤?2x＋2x－4≤2， 2即x＋2x－4≤－1， 所以x＋2x－3≤0，解得－3≤x≤1，故选C. 4．若不等式x＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是( ) 2A．(2，＋∞) C．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．(－∞，2) D．(0，2) 2 2 22 m解析：选D.由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m－4×1×<0，即m－2m<0，解得 20 5．设集合A＝{x|x＋2x－3>0}，B＝{x|x－2ax－1≤0，a>0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( ) 2 2 m2
2019_2020学年高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法学案新人教B版必修5
