1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( ) A．北偏东10° B．北偏西10° C．南偏东80° D．南偏西80°
解析：选D.由条件及题图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
2．(2016·郑州模拟)已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( ) A．10 km C．105 km
B．103 km D．107 km
解析：选D.如图所示，由余弦定理可得：
AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700， 所以AC＝107(km)．
3．(2016·唐山模拟)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，则cos∠DAC＝( ) A.C.10 105 5
310B.
1025D.
5
解析：选B.由已知条件可得图形，如图所示，设CD＝a，在△ACD中，CD2＝AD2＋AC2－2AD×AC×cos∠DAC，所以a2＝(2a)2＋(5a)2－2×2a×5a×cos∠DAC， 310
所以cos∠DAC＝.
104．(2016·淮北质检)
如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为( ) A．30° B．45° C．60° D．75° 解析：选B.依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)， 所以在△ACD中，由余弦定理得 AC2＋AD2－CD2cos∠CAD＝
2AC·AD（305）2＋（2010）2－502＝
2×305×2010＝
6 0002
＝，
6 00022
又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 5．如图，
一条河的两岸平行，河的宽度d＝0.6 km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B.已知AB＝1 km，水的流速为2 km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min，则客船在静水中的速度为( ) A．8 km/h C．234 km/h
B．62 km/h D．10 km/h
解析：选B.设AB与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h，由题意知，sin θ2
1?2?10.63414??＝＝，从而cos θ＝，所以由余弦定理得?10v?＝?10×2?＋12－2××2×1×，解
155105
得v＝62.
6．(2014·高考四川卷)如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于( )
A．240(3－1)m
B．180(2－1)m
C．120(3－1)m 解析：
D．30(3＋1)m
选C.如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60° ＝603(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－3)(m)． 所以BC＝CD－BD＝603－60(2－3) ＝120(3－1)(m)．
7．一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75°，距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为______海里/小时．
解析：由题意知，在△PMN中，PM＝68海里，∠MPN＝75°＋45°＝120°，∠MNP＝45°.由MN68346
正弦定理，得＝，解得MN＝346海里，故这只船航行的速度为海里/小
4sin 120°sin 45°176
时＝海里/小时．
2176答案：
28．某
同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点A处测得电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处，测得电视塔S在电动车的北偏东75°方向上，则点B与电视塔的距离是________km.
15
解析：由题意知AB＝24×＝6，在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝
60AB·sin 30°BSAB
105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知＝，所以BS＝＝32.
sin 30°sin 45°sin 45°答案：32
9．(2016·佛山一模)
如图，为了测量河对岸A、B两点之间的距离，观察者找到一个点C，从C点可以观察到点A、B；找到一个点D，从D点可以观察到点A、C；找到一个点E，从E点可以观察到点B、C；并测量得到：CD＝2，CE＝23，∠D＝45°，∠ACD＝105°，∠ACB＝48.19°，∠BCE2
cos 48.19°取? ＝75°，∠E＝60°，则A、B两点之间的距离为________.?3??
CDsin 45°
解析：依题意知，在△ACD中，∠A＝30°，由正弦定理得AC＝＝22，在△BCE
sin 30°CEsin 60°
中，∠CBE＝45°，由正弦定理得BC＝＝32，
sin 45°
在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB＝10， 所以AB＝10，即A、B两点之间的距离为10. 答案：10 10．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)
如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 解析：根据题图，AC＝1002 m.
在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°. ACAM
由正弦定理得＝?
sin 45°sin 60°AM＝1003 m.
MN
在△AMN中，＝sin 60°，
AM
所以MN＝1003×
3
＝150(m)． 2
答案：150
11.某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD＝BD＝7米，BC＝5米，AC＝8米，∠C＝∠D.求AB的长度． 解：在△ABC中，由余弦定理得 AC2＋BC2－AB282＋52－AB2
cos C＝＝.
2×8×52AC·BC在△ABD中，由余弦定理得
AD2＋BD2－AB272＋72－AB2
cos D＝＝.
2×7×72AD·BD由∠C＝∠D得cos C＝cos D， 解得AB＝7，
所以AB的长度为7米． 12．(2016·贵阳监测考试)
如图所示，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝1，CD＝3，cos B＝(1)求△ACD的面积； (2)若BC＝23，求AB的长． 解：(1)因为∠D＝2∠B，cos B＝
3
， 3
3. 3
1
所以cos D＝cos 2B＝2cos2B－1＝－.
3因为∠D∈(0，π)， 所以sin D＝
22
1－cos2D＝.
3
1122
因为AD＝1，CD＝3，所以△ACD的面积S＝AD·CD·sin D＝×1×3×＝2.
223(2)在△ACD中，AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos D＝12，所以AC＝23.
优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第3章 三角函数解三角形 第8讲知能训练轻松闯关 含答案
