造桥选址问题
——最短路径问题第二课时设计案例
南宁市新民中学 甘晓云
一、内容与内容解析 （一）内容
本题选自人教版八年级上册第13章《轴对称》13.4课题学习第86页问题2. 利用平移研究某些最短路径问题. （二）内容解析
本课题学习是利用图形变换来研究某些实际问题中的最短路径问题.问题2以造桥选址这样一个实际问题为载体展开研究，让学生经历将实际问题抽象成数学的线段和最小问题,再利用平移变化将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
所以，基于以上分析，确定本节课的重点：利用平移将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
二、目标与目标解析 （一）目标
能利用平移解决某些最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化和化归的思想.
（二）目标解析
本节课所要达成的目标，一是能将实际问题中的“地点”、“河”抽象为数学中的“点”、“线’,把实际问题抽象为数学的线段和最小问题；二是能利用平移将和最小问题转化为“两点之间，线段最段”问题；三是能通过逻辑推理证明所求距离最短；四是在探索最短路径的过程中，体会平移的“桥梁”作用，感悟数学转化思想.
三、教学问题诊断分析
最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，此前很少在几何中接触最值问题，解决此类问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手。
解答在两条直线异侧两点的最短路径问题时，如何利用图形变化将其转化为“在一条直线异侧两点与直线上点的线段和最小问题”，为什么需要这样转化、怎样通过图形变化实现转化的，一些学生在理解和操作上存在困难。
在证明作法的合理性时，需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和，这种思路、方法，因为之前很少遇到，不过有了问题1
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的铺垫，部分同学会想到，但还会有一些学生无从下手。要克服这个难点，关键是要加强对问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路．
本节课的教学难点在于如何利用平移将最短路径问题转化为线段和最小问题. 针对学生可能出现的问题，我的教学策略是这样的： 通过创设具有启发性、学生感兴趣的、有助自主学习和探索的问题情境，使学生在活动丰富、思维积极的状态中进行探究学习，在教学过程中，将学生以6个人为一个小组，通过小组讨论交流学案的形式，相互配合，提出问题，并积极的解决问题，通过讨论、交流得到解决方法，培养学生的合作学习能力.并结合几何画板演示加深学生的理解。在教学模式上，以学生为主体，将课堂还给学生，给学生一个充分展示自己的舞台，在小组合作探究后，让学生代表在白板上演示自己小组的成果展示，使学生在这个过程中获得成功的体验，从而激发对
数学的激情。在这节课堂教学中，充分利用白板、几何画板等现代多媒体工具，使学生对抽象、复杂的关系有了更直接、明了具体的感观，激发学生对数学的兴趣.
四、教学过程设计 （一）问题铺垫 1.回顾复习下列问题
（1）如图1，A,B两点在路l的两侧,在l上找一点C，使到两地的路径最短. （2）如图2，A,B两点在路l的同侧,在l上找一点C，使到两地的路径最短.
图1
图2
设计意图：帮助学生回顾已掌握的两种最短路径的模型，并体会最终的依据都是利用了“两点之间，线段最短”.
2.铺垫问题：
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短.
AaMbNB7
设计意图:帮助学生从现实出发,总结造桥选址的两要素:路径最短、材料最省. （二）将实际问题抽象为数学问题
问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.）
我们把河岸看成两条平行线a和b，A、B分别是河岸两侧的两点,要修一条桥MN，AMabNBMN⊥a，MN⊥b,引导学生体会把N可以看成直线b上的一个动点，把问题就转化为当点N在b的什么位置，有AM+MN+NB最小.在由河宽固定,进一步把问题转化为AM+BN最小.
(三)尝试解决数学问题
让学生分组讨论，在学案上尝试画出最短路径.学生由前面的解题经验，容易出现下面的错误：
第一类：
AAMAAMMNBNB错误归因：直接认为两点之间，线段最短，没有考虑河宽. 第二类：
MNBNB错误归因：直观感觉垂线段最短，没有考虑垂线段最短的应用背景. 第三类：
错误归因：受问题1影响，错套方法.
AMB'NB 7
对于学生出现的错误方法，通过几何画板演示一一验证，让学生直观感受所作的路径均不是最短路径.并让学生体会体会在b上会有一个点N,使AM+MN+NB.
引导学生：这与前面回顾复习中的问题是否有类似的地方呢？都是两条线段和最小的问题，但前面的问题都只有一条直线，这里有两条直线，而且AM、NB是断开的两条线段，能否把它们放在一起呢？ 再让学生进行小组讨论交流，可以让作出正确作法的学生进行展示和说明.我再借助几何画板的演示帮助学生加深理解和感受.
帮助学生总结具体的作图操作步骤是，过点A作AC⊥b于点C， 在线段AC上截取AA’等于河宽，然后连接A’B交b于点N，最后过点N作MN⊥a于点M.则MN即为所求的架设桥的地点.
如果改为平移B点呢?让学生在学案上完成作图. 学生还有作法2，利用折叠的方法把河岸a、b重合在一起. （四）证明最短
为了更为清楚的理解这种方法，为什么这样做是最短路径,能否进行证明呢?引导学生回顾问题1的证明过程, 发现需要在直线上任取点(与所求作的点不重合)。证明所连线段和大于所求作的线段和.
五、巩固练习
拓展1：如图4，如果A、B两地之间有两条平行的河，我们要建的桥都是与河岸垂直的.我们如何找到这个最短的距离呢？
河流2AAA'走路aa过桥A'M过桥走路NN走路BbMbNB在?A'N'B中，AMA'NM'abN'B?A'B?A'N'?BN',又?MN?M'N'?A'N?BN?MN?AM'?BN'?M'N'?A'N?MN?BN?AM'?M'N'?BN'根据平移的性质，有A'N?AM?AM?MN?BN?AM'?M'N'?BN'AA1河流1AQ河流1AA1Q河流1A2PM河流2PM河流27
图4NNB2BB图5图6B
方法1：仿照上例，可以将点A沿与河垂直的方向平移两个河宽分别到到A1、A2，路径中两座桥的长度是固定的.为了使路径最短，只要A2B最短.连接A2B，交河流2河岸于N，在此处造桥MN；连接A1M，交河流1河岸于P，在此处造桥PQ,所得路径AQPMNB最短.
方法2：如图6，将点A沿与第一条河流垂直的方向平移一个河宽到A1，将B沿与第二条河垂直的方向平移一个河宽到B1，连接A1B1与两条河分别相交于N、P，在
N、P两处，分别建桥MN、PQ，所得路径AQPMNB最短.
设计意图：拓展1是直接对问题2所总结方法的直接应用，加深对问题2的理解. 拓展2：如图9，如果在上述条件不变的情况下，两条河不平行，又该如何建桥？
B河流2AAA1A2Q河流1AA1Q河流1PMNB河流2PMNB1B
图11图10图9方法1：如图10，先将点A沿与河流1河岸垂直的方向平移一个河宽到A1，再沿与河流2河岸垂直的方向平移一河宽到A2，连接A2B，交河流2河岸于N，此处建桥
MN；连接A1M，交河流1于P，在此处建桥PQ.所得路径AQPMNB最短.
方法2：也可以将A沿与河流1垂直的方向平移1个河宽，得到A1，再将B沿与河流2河岸垂直的方向平移1个河宽得到B1，连接A1B1与河流1、河流2分别相交于
P、M，分别作桥MN、PQ.所得路径AQPNMB最短.
设计意图：拓展2是对问题2所总结方法的灵活应用，发展学生的思维能力. 六、小结提升
（一）要使所得到的路径最短，就是要通过平移，使除河宽不变外，其他路径经平移后能在一条直线上.最后还是应用“两点之间，线段最短”解决问题.
（二）综合问题1、2，在解决最短路径问题时,我们通常可以利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
七、布置作业
如图，甲、乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．问： （1）桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？（注：桥必须与街道垂直）． （2）桥建在何处才能使甲、乙到桥的距离相等？
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造桥选址问题案例设计甘晓云
