古典概型
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1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义
2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P（A）=
A包含的基本事件个数的使
总的基本事件个数用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣.
1．古典概型的概念
同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：
(1)________：在一次试验中，可能出现的结果只有________，即只有________不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是________． 有限性 有限个 有限个 均等的 2．概率的古典定义
在基本事件总数为n的古典概型中，
(1)每个基本事件发生的概率为______；
(2)如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝_______，所以在古典概型中P(A)＝________________________，这一定义称为概率的古典定义．
事件A包含的基本事件数1m
试验的基本事件总数nn3. 基本事件的概率
一般地，对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，由于基本事件是两两__________
的，则由________________________公式得P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)＝P(A1∪A2∪…∪An)＝P(Ω)＝1.又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P(A1)＝P(A2)＝…＝P(An)，代入上式得n·P(A1)＝1，即P(A1)＝______.
互斥 互斥事件的概率加法
1 n
类型一 等可能事件的概率
例1：一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：
(1)基本事件总数；
(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出2个黑球的概率是多少？
[解析] 由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6.
(2)事件“从3个黑球中摸出2个球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．
1
(3)基本事件总数n＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n＝3，故P＝. 2练习1：掷一颗骰子，观察掷出的点数． (1)求掷得奇数点的概率；
(2)求掷得点数不大于4的概率．
[答案] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，基本事件总数为6.
31
(1)事件A＝“掷得奇数点”＝{1,3,5}，含基本事件数为3，∴P(A)＝＝.
6242
(2)事件B＝“掷得点数不大于4”＝{1,2,3,4}，含基本事件数为4，∴P(B)＝＝. 63
练习2：(2013·江西文，4)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，从A、B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )
2
A． 3[答案] C
类型二 古典概型的概率
例2：袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
[解析] 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A：取出的两球都是白球的总数；事件B：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．
设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．
(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两
1B． 21
C． 31D． 6
个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．
62
∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝＝.
155
(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．
8∴取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝. 1528
[答案] (1) (2) 515
练习1：袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；
(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．
[答案] (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：
(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．
3
所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为.
10
(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．
由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的8
概率为. 15
练习2：(2014·全国新课标Ⅰ文，13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．
2
[答案] 3
练习3：甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，基中选择题3道，填空题2道，甲、乙两人依次各抽取一道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率．
[答案] 设3道选择题分别为A，B，C,2道填空题分别为D，E，甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A，B，)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(A，E)，(E，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(B，E)，(E，B)，(C，D)，(D，C)，(C，E)，(E，C)，(D，E)，(E，D)20种，甲抽到选择题，乙抽到填空题的情况有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6种故63
所求概率为＝. 2010
类型三 有放回取样与无放回取样的联系与区别
例3：口袋内有红、白、黄颜色大小完全相同的三个小球，求：
(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；
(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率； (3)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，第一次摸得红球，第二次摸得白球的概率； (4)从袋中依次无放回的摸出两球，第一次摸得红球，第二次摸到白球的概率．
[解析] (1)任意摸出两个小球的基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以，摸得1
红球和白球的概率为.
3
(2)有放回地取球．基本事件空间为：
{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，白)}．而2
摸出一红一白包括(红，白)，(白，红)两个基本事件，所以概率为. 9
(3)基本事件空间同(2)，第一次摸得红球，第二次摸得白球，只包含(红，白)一个基本事件，所1
以概率为.
9
(4)基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸1
出红球，再摸出白球的概率是.
6
练习1：(1)从含有两件正品a、b和一件次品c的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；
(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．
[答案] (1)基本事件空间Ω＝{(a，b)，(a，c)，(b，c)，(b，a)，(c，a)，(c，b)}，其中(a，b)中的a表示第一次取出的产品，b表示第2次取出的产品，Ω中有6个基本事件，它们的出现都是等42
可能的，事件A＝“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件，∴P(A)＝＝. 63
(2)有放回的连续取两件，基本事件空间Ω＝{(a，a)，(a，b)，(a，c)，(b，b)，(b，a)，(b，c)，(c，c)，(c，a)，(c，b)}中共9个等可能的基本事件，事件B＝“恰有一件次品”包含4个基本事件，4
∴P(B)＝.
9
练习2：一个袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次都是摸到白球的概率为( )
2A． 5[答案] D
类型四 古典概型与解析几何的结合
例4：设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，求使事件Cn的概率最大的n的所有可能取值．
[解析] 点P的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P(a，b)落在直线x＋y＝n上(2≤n≤5)，则
4B． 52C. 254D． 25
当n＝2时，点P只能是(1,1)； 当n＝3时，点P可能是(1,2)，(2,1)； 当n＝4时，点P可能是(1,3)，(2,2)； 当n＝5时，点P只能是(2,3)．
故事件C3、C4的概率最大，所以n可取3或4. [答案] n可取3或4
练习1：连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b2)＝4 相切的概率为________．
1
[答案]
18
练习2：设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率． [答案] 设事件A为“方程x2＋bx＋c＝0有实根”，则 A＝{(b，c)|b2－4c≥0，b，c＝1,2，…，6}．而(b，c)有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共36组．
其中，可使事件A成立的有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．
19故事件A的概率P(A)＝.
36
类型五 古典概型与统计的结合
例5：(2014·山东文，16)海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.
地区 A B C 数量 50 150 100 (1)求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量； (2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解析] (1)A、B、C各地区商品的数量之比为50：150：100＝1：3：2.
1
故从A地区抽取样本6×＝1件，
63
故从B地区抽取样本6×＝3件，
62
故从C地区抽取样本6×＝2件．
6
(2)将这6件样品分别编号a1，b1，b2，b3，c1，c2，随机选取2件，不同的取法共有{(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c1)，(a1，c2)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b2，b3)，(b2，c1)，
第11讲：古典概型(教师版)
