课时作业(二十二)
1．已知椭圆
x2＋
y22
＝a(a>0)与以A(2，1)，B(4，3)为端点的线段没有公共点，则a的取值2
范围是( )
32
A．0 23282C．a<或a> 22答案 B 3282 解析 椭圆恰好经过A与椭圆恰好经过B是临界，将A，B两点代入解，a＝或a＝， 22由数形结合知，B正确． 2．已知A，B，C三点在曲线y＝x上，其横坐标依次为1，m，4(1 C. 2答案 B 解析 A(1，1)，C(4，2)，直线AC方程为x－3y＋2＝0. 设点B到直线AC的距离为d. |m－3m＋2|111 ∴S△ABC＝|AC|·d＝×10·＝|m－3m＋2|. 222103 ∵1 29 S△ABC取最大值，∴m＝，∴B正确． 4 3．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是( ) 4A. 38C. 5答案 A 解析 设与抛物线y＝－x2相切且与直线4x＋3y－8＝0平行的直线方程为4x＋3y＋d＝0. ?y＝－x2，?4由?得3x2－4x－d＝0，Δ＝16＋12d＝0，d＝－. 3??4x＋3y＋d＝0， 3282B．0 D. 22 9B. 43D. 2 7B. 5D．3 4|－＋8|34 所以距离最小值为＝.故A正确． 53 4．已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值是( ) A．5 C.17－1 答案 C 解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0，4)，设点P到抛物线准线的距离为d，根据抛物线的定义有d＝|PF|，∴|PQ|＋d＝|PQ|＋|PF|≥(|PC|－1)＋|PF|≥|CF|－1＝17－1. π 5．已知过抛物线y2＝x的焦点F的直线m的倾斜角θ≥，m交抛物线于A，B两点，且A 4点在x轴上方，则|FA|的取值范围是________． 12 答案 (，1＋] 42 p1π 解析 易知抛物线上的点到其焦点的距离的最小值是＝.当直线m的倾斜角等于时，|FA| 244131 取得最大值，此时直线方程是y＝x－，代入抛物线方程，得x2－x＋＝0，根据题意得 42163 ＋2 点A的横坐标是 31（）2－2432 ＝＋，根据抛物线定义该点到焦点的距离等于其到准 242 B．8 D.5＋2 321212 线的距离，故这个距离是＋＋＝1＋.所以|FA|的取值范围是(，1＋]． 424242 6．已知直线l：y＝2x－4交抛物线y2＝4x于A，B两点，在抛物线AOB这段曲线上有一点P，则△APB的面积的最大值为________． 答案 27 4 解析 由弦长公式知|AB|＝35，只需点P到直线AB距离最大就可保证△APB的面积最大． 1设与l平行的直线y＝2x＋b与抛物线相切，解得b＝. 29519527∴d＝，∴(S△APB)max＝×35×＝. 102104 7．在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－3y＝4相切． (1)求圆O的方程； →→(2)圆O与x轴相交于A，B两点，圆内的动点P使|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，求PA·PB的取值范围． 解析 (1)依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x－3y＝4的距离，即r＝得到圆O的方程为x2＋y2＝4. (2)不妨设A(x1，0)，B(x2，0)，x1 设P(x，y)，由|PA|，|PO|，|PB|成等比数列，得 （x＋2）2＋y2·（x－2）2＋y2＝x2＋y2，即x2－y2＝2. →→PA·PB＝(－2－x，－y)·(2－x，－y)＝x2－4＋y2＝2(y2－1)． 22??x＋y<4，由于点P在圆O内，故?22由此得y2<1. ??x－y＝2， 4 ＝2. 1＋3 →→所以PA·PB的取值范围为[－2，0)． 8．(2014·北京，文)已知椭圆C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆C的离心率； (2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值． x2y2 解析 (1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1， 42所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝2. c2 故椭圆C的离心率e＝＝. a2 (2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0. 2y0→→ 因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.又x02＋2y02＝4，所以|AB|2 x0＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝(x0＋ 4－x022（4－x02）2y024y02 2222 )＋(y0－2)＝x0＋y0＋2＋4＝x0＋＋＋x0x02x02 x028 4＝＋2＋4(0 2x0 x028 因为＋2≥4(0 2x0所以|AB|2≥8. 故线段AB长度的最小值为22. x2y26 9．(2019·衡水中学调研卷)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点 ab3的距离为3. (1)求椭圆C的方程； (2)设存在斜率的直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为面积的最大值． c6??＝，解析 (1)设椭圆的半焦距为c，依题意?a3 ??a＝3，x22 ∴b＝1，∴所求椭圆方程为＋y＝1. 3 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m. 由已知 |m|332＝(k2＋1)． ＝，得m 41＋k22 3 ，求△AOB2 把y＝kx＋m代入椭圆方程，整理，得(3k2＋1)x2＋6kmx＋3m2－3＝0. －6km3（m2－1） ∴x1＋x2＝2，x1x2＝. 3k＋13k2＋1∴|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2 ＝(1＋k2)[ 12（m2－1）36k2m2 －] （3k2＋1）23k2＋1 12（k2＋1）（3k2＋1－m2）3（k2＋1）（9k2＋1） ＝＝ （3k2＋1）2（3k2＋1）212k2 ＝3＋4＝3＋ 9k＋6k2＋1 1212 (k≠0)≤3＋＝4. 12×3＋69k2＋2＋6 k 13 当且仅当9k2＝2，即k＝±时等号成立． k3当k＝0时，|AB|＝3，综上所述|AB|max＝2. ∴当|AB|最大时，△AOB面积取最大值 133 S＝×|AB|max×＝. 222 x2y2 1．双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，若P为其上一点，且|PF1|＝2|PF2|，则 ab双曲线离心率的取值范围为( ) A．(1，3) C．(3，＋∞) 答案 B 解析 由双曲线的定义，知||PF1|－|PF2||＝2a. 又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2c，|PF1|＝2|PF2|， 故|PF2|＝2a，3|PF2|≥2c. B．(1，3] D．[3，＋∞) 即6a≥2c，e≤3，又e>1，故1 2．(2015·四川)设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( ) A．(1，3) C．(2，3) 答案 D 解析 显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ?y12＝4x1，?x1≠x2，M(x0，y0)，则?2两式相减得(y1＋y2)(y1－y2) ?y＝4x，?22 B．(1，4) D．(2，4) ＝4(x1－x2)． y1＋y2y1－y2 由于x1≠x2，所以·＝2?ky0＝2.① 2x1－x2 y0－0 圆心为C(5，0)，由CM⊥AB，得k·＝－1?ky0＝5－x0.② x0－5 由①②解得x0＝3，即点M必在直线x＝3上，将x＝3代入y2＝4x，得y2＝12?－23 x2y2223．已知椭圆M：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的 ab3三角形周长为6＋42. (1)求椭圆M的方程； (2)设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值． 解析 (1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6＋42，所以2a＋2c＝622c2222 ＋42，又椭圆的离心率为，即＝，所以c＝a. 3a33所以a＝3，c＝22，故b2＝a2－c2＝1. x22 椭圆M的方程为＋y＝1. 9 1 (2)方法一：不妨设直线BC的方程为y＝n(x－3)，(n>0)，则直线AC的方程为y＝－(x－ n3)． y＝n（x－3），??1由?x22得(＋n2)x2－6n2x＋9n2－1＝0. 9 ??9＋y＝1，
人教A版数学选修2-1同步作业：第2章 圆锥曲线与方程 作业22
