《数值分析》综合举例
一、名词解释
1、模型误差：从复杂的实际问题中抽象出数学模型,需要忽略某些次要因素,这种近似产生的误差叫做模型误差；
2、相对误差限：绝对误差与精确值之比，即?r(x)?使
?(x)x，称为x的相对误差。若存在??0*?r(x)??，则称?为相对误差限；
3、有效数字：若近似数x的绝对误差限小于某一数位上的半个单位，且该位直到x的第一
**位非零数字共有n位，则称该近似数x有n位有效数字；
?14、矩阵的条件数：设A为可逆矩阵，则AA称为矩阵A的条件数，记为Cond(A)；
*5、迭代法的局部收敛：设x为x?g?x?在区间I上的的一个不动点，若存在x的一个邻
??域S?I，对任意的x0?S，相应的迭代格式xk?1?g?xk?产生的序列{xk}?S，且{xk}收敛于x，则称迭代法的局部收敛；
6、插值型求积公式：若求积公式I???f?x?dx??Af?x?中的求积系数Aakkk?0nkkk?0bnK是由插值
公式确定的，则称该求积公式为插值型求积公式；
7、代数精度：若求积公式I?成立，而对xm?1?f?x?dx??Af?x?对于任意不高于m次的多项式准确
ab却不能准确成立，则称该求积公式的代数精度为m.
8、数值解的局部截断误差：设yi?y?xi?，且yi?1是由某近似公式算出的近似值，则
Ri?1?y?xi?1??yi?1称为数值解公式的局部截断误差。
二、填空题
1、数2.71838和2.71828分别作为 e 的近似值有 4 ， 6 位有效数字；
?1?1?2、已知 A??? ,则 ||A||1= 2 ,Cond(A)?= 2 . 11??三、基本计算题
1、已知变量x,y的一组数据对点如下
x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 y 5.10 5.79 ax6.53 7.45 8.46 试求关于以上数据的形如y?be的拟合曲线. 解:由y=be
ax两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取?=span{1,x},计算可得：
5lnb+7.5a=9.404， 7.5lnb+11.875a=14.422
?解之，有lnb≈1.122,a≈0.5056,于是有lny1(x) ≈1.122+0.5056x.从而有
y?1(x) ≈13.071e0.5056x。
x,y的一组数据对点如下
2、已知变量
1 / 4
x y 1 1.78 ax2 2.24 3 2.74 4 3.74 5 4.45 6 5.31 7 6.92 8 9 8.85 10.97 试求关于以上数据的形如y?beax的拟合曲线. 解:由y=be
两边取对数，可化为：lny(x)=lnb+ax.取?=span{1,x},计算可得：
9lnb+45a=13.383， 45lnb+285a=80.513
?解之，有lnb≈0.352,a≈0.2266,于是有lny1(x) ≈0.352+0.2266x.从而有
y?1(x) ≈1.422e0.2266x 32 3、已知一个三次方程为x?4x?10?0，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一
?4种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(??10).
110 解：格式1: ?1（x）=（）2
4?x取x0=1.5，用以上2种格式计算，结果如下表：
n 方法1 0 1.5 1 1.3483997 2 1.3673764 3 1.3649570 4 1.3652647 … 。。。。 8 1.365230 若用Newton法计算，取x0=1.5，计算可得:x1=1.3733333，x2=1.3652300. 4、已知一个三次方程为x?x?1?0，试在1.5附近讨论根的存在惟一性，并构造一种收敛的迭代格式，计算该方程在1.5附近的一个根(??10).
解：取x0=1.5，用收敛迭代格式计算，结果为：x?1.3245
1?3?45、用龙贝格积分法求I?exdx的近似值，其中
?0T1?1.8591409 T2?1.7539311 T4?1.7272219 T8?1.7205186
4T2n?Tn64C2n?Cn42S2n?SnR?解:由公式Sn?，Cn?，计算可得： n4?164?142?11I??exdx?1.7182818
06、用龙贝格积分法求I?sinxdx的近似值，其中 ?x01T?0.9456909T1?0.9207355 T2?0.9397933 T4?0.9445135 8
4T2n?Tn64C2n?Cn42S2n?SnR?解:由公式Sn?，Cn?，计算可得： n4?164?142?11sinxI??dx?0.9460831
x02 / 4
?dy2?y?x?1,??dx7、用改进的欧拉格式(预估—校正方法)求初值问题??y(0)?1??2的近似解y(x)（取步长h?0.2，小数点后至少保留七位）.
解: 由改进的Euler方法,有
x?0
yn?1=yn+[ yn-x2n+1+ yn+( yn-x2n+1)-(xn+h)2+1],
用h=0.2代入，有
h2yn?1=1.22 yn-0.22 x2n-0.44 xn+0.216，n=0，1………
Xn 0.8
改进Euler方法yn
2.11020357
?dy??x?y,x?08、用改进的欧拉格式(预估—校正方法)求初值问题?dx的近似解y(x)（取
??y(0)?1;h?0.2步长h?0.2，小数点后至少保留七位）.
解: 由改进的Euler方法,并用h=0.2代入，有
yn?1=1.4yn+0.22xn+0.02, n=0，1,…
故y(0.8)?2.6510? 四、综合计算题
?2012???432?2?? 1、设四阶方阵A????2?65?1????63?12?1）用紧凑格式求单位下三角阵L和上三角阵U使A?LU；
2??1??201?????21342????L???1?21?, U??145?
????422??1????31????77????2）用以上LU分解，求解方程组AX?b,其中b??5,?1,?4,10?
TX?(1,1,1,1)T
2、设四阶方阵
?1?0A???1??0012120400?1??3??3?,
3 / 4
1）用紧凑格式求单位下三角阵L和上三角阵U使A?LU；
?1??1020?????01101?, U??? L???121??21?????01012????T2）用以上LU分解，求解方程组AX?b,其中b??5,3,17,7?；
X?(1,1,2,2)T
五、证明与讨论题
1、证明复化梯形公式的余项为RT[f]??b?a2hf??(?),???[a,b]。 12 证:利用梯形公式在各小区间上的余项之和,再由积分中值定理与介值定理可证.详见教材
P156光年与课件之讨论。
2、设B为n阶方阵，I为 n阶单位阵。且B?1，试证明：
?11）I?B为非奇异矩阵； 2）(I?B)?1.
1?B证:证明详见教材P11中定理1。5。
3、证明：在P[x]中存在一个次数不高于2次的多项式P2(x)满足：
P2(0)?0,P2(1)?1,P2(2)?1. 解:由已知条件可得差分表如下： xi P(xi) 0 1 2 0 1 1 一阶差商 1 0
一阶差商 -0.5 再由牛顿基本插值公式可得:P2(x)??123x?x。 224 / 4
数值分析报告应用举例
