放缩法在导数压轴题中的应用-郑州第四十四中学
恰当采用放缩法 巧证导数不等式
郑州市第四十四中学 苏明亮
放缩法是高中数学中一种重要的数学方法，尤其在证明不等式中经常用到．由于近几年数列在高考中的难度要求降低，放缩法的应用重点也逐渐从证明数列不等式转移到导数压轴题中，尤其是在导数不等式证明中更是大放异彩.下面试举几例，以供大家参考．
一、利用基本不等式放缩，化曲为直
例1（2012年高考辽宁卷理科第21题（Ⅱ））设f(x)?ln(x?1)?x?1?1.证明：当0?x?2时，f(x)?x9?x6.
(x?1)?1?x?2证明：由基本不等式，当x?0时，2故x?1?x?12，
.
x2?f(x)?ln(x?1)?x?1?1?ln(x?1)?x9x记h(x)?ln(x?1)?2， ?x?6
则
1154x(x2?15x?36)h'(x)????x?12(x?6)22(x?1)(x?6)2.
h'(x)?0，当0?x?2时，所以h(x)在(0,2)内是减函数.
x9x?故又由h(x)?h(0)?0，所以ln(x?1)?2，即x?6ln(x?1)?x?1?1?9xx?6，
2
故当0?x?2时，f(x)?x9?x6.
评注：本题第(Ⅱ)问若直接构造函数
h(x)?f(x)?9xx?6，对h(x)进行求导，由于h'(x)中既有根
式又有分式，因此h'(x)的零点及相应区间上的符号很难确定，而通过对式证明x?12x?1进行放缩处理，使问放大化x?1题得到解决.上面的解法中，难点在用基本不等
x?1?，亦即是将抛物线弧y?x?1x?1，简为直线段y?2而该线段正是抛物线弧y?在左端点(0,1)处的切线，这种“化曲为直”的方法是我们用放缩法处理函数问题的常用方法. 二、利用单调性放缩，化动为静
例2（2013年新课标全国Ⅱ卷第21题（Ⅱ））已知函数f(x)?ex?ln(x?m).当m?2时，证明f(x)?0.
f(x)证法1：函数
1(x?m)ex?1f'(x)?e??x?mx?mx的定义域为(?m,??)，则
.
x设g(x)?(x?m)ex?1，因为g'(x)?(x?m?1)e2?m?0，
所以g(x)在(?m,??)上单调递增. 又g(?m)??1?0，g(2?m)?2e?1?2?1?1?00，
故g(x)?0在(?m,??)上有唯一实根x.
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