解三角形
【高考会这样考】
1．考查正、余弦定理的推导过程．
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状． 3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．
4.考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题．
基础梳理
1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变
sin Asin Bsin C形为：
(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝等形式，以解决不同的三角形问题．
2R2R2R2．余弦定理：a＝b＋c－2bccos_A，b＝a＋c－2accos_B，c＝a＋b－2abcos_C．余弦定
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abcabcb2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2
理可以变形为：cos A＝，cos B＝，cos C＝.
2bc2ac2ab111abc1
3．面积公式：S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(R是三角形外接
2224R2圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
图形 A为锐角 A为钝角或直角 关系 式 解的 个数 a＝bsin A a＜bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b 无解 一解 两解 一解 一解 无解 5．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型
测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．
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6．实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图(1))．
(2)方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图(2))． (3)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°，西偏东60°等． (4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
考向探究
题型一 正弦余弦定理运用
【例题1】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.
【例题2】 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且
cosBb=-.
cosC2a?c（1）求角B的大小；
（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.
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【例题3】 （14分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b+c-a+bc=0. （1）求角A的大小；
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（2）若a=3，求bc的最大值； （3）求
asin(30??C)的值.
b?c
【变式】
1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a= .
2.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b; (2)△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.
3.在△ABC中，A=60°，AB=5，BC=7，则△ABC的面积为 .
4.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）22
-c，求tanC的值.
5. 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA= .
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6. 在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a+c-b）tanB=3ac，则角B的值为 .
7. 在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值； （2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.
题型二 判断三角形形状
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【例题】在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a+b）sin（A-B）
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=（a-b）sin（A+B），判断三角形的形状.
?. 3 3
【变式】 已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.
题型三 测量距离问题 【例题】如图所示，
为了测量河对岸A，B两点间的距离，在这岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝60°，∠BCD＝30°，∠BDC＝105°，∠ADC＝60°，试求AB的长．
【变式】 如图，A，B，C，D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°，30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离．
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题型四 测量高度问题
【例题】如图，山脚下有一小塔AB，在塔底B测得山顶C的仰角为60°，在山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高AB＝20 m，求山高CD.
【变式】如图所示，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
题型五 正、余弦定理在平面几何中的综合应用
【例题】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝5，AC＝9，∠BCA＝30°，∠ADB＝45°，求BD的长．
【变式】 如图，在△ABC中，已知∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝10，AC＝14，DC＝6，求AB的长．
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最全面的解三角形讲义课
