吉林省松原市高中2020届高三下学期第四次模拟考试卷数学理试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知f(x)?ex?e?x?x3，则不等式f(2x?1)?f(4?x)?0的解集为（ ） A．(??,?5)
C．(?5,??) D．(5,??)
B．(??,5)
x2y22．已知双曲线C：2?2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2作其渐近线的垂线，
ab 垂足为M，交双曲线C右支于点P，若F2P?2PM，且?F1PF2?120?，则双曲线C的离心率为（ ）
uuuuvuuuuv13A．2 33B．2
C．3 D．23 3．三棱锥S?ABC中，SA?BC,SC?AB,则S在底面ABC的投影一定在三角形ABC的（ ） A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
4．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S不可能是（ ）
A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9
5．已知某函数的图象如图所示，则下列解析式与此图象最为符合的是（ ）
f?x??A．
2xlnxf?x?? B．
1fx???2lnxx?1 C．
2xf?x??D．
1x?1x
6．已知抛物线C：y2?4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若MN?5，则点P到y轴的距离为（ ）
A．3
3B．2 C．1 1D．2
中分别以，为圆心、正方形的边长为半径画
，
，在正方形内随机
7．如图，在正方形
取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．小华爱好玩飞镖，现有如图所示的两个边长都为2的正方形ABCD和OPQR构成的标靶图形，如果O点正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以绕点O旋转，则小华随机向标靶投飞镖射中阴影部分的概率是（）
1111A．3 B．4 C．6 D．7
9．若不等式ln1?32x??1?a??3x3 ??x?1??ln3对任意的x????,1?恒成立，则a的取值范围是（ ）
10????,?3?? A．??10?,????3?? B．
C．
?2,??? D．???,2?
10．下列说法正确的是
A．命题“?x?0,sinx?x”的否定是“?x?0,sinx?x”
B．命题“若x?y，则sinx?siny”的逆否命题是真命题
C．两平行线2x?2y?1?0与2x?2y?3?0之间的距离为2 2D．已知直线
l1:ax?y?1?0,l2:x?ay?2?0,l1?l2的充要条件是a=?1
11．在平行四边形ABCD中，M是DC的中点，向量DN?2NB，设AB?a，AD?b，则MN?(
uuuruuuruuurruuurruuuur)
1r2ra?b3 A．61r1r1r7r?a?ba?b3 C．66 B．61r1ra?b3 D．612．如图，三棱锥D?ABC中，AB?AC?DB?DC?1，BC?2，平面DBC?平面ABC，M，
N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为（ ）
15A．6 15B．2 5C．6 D．0
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
?????f?x??sin??x????0???6,?????22?的图象向右平移3个单位长度得到函数?13．已知将函数g?x?f?x?g?x?x?
的图象都关于
?4对称，则????______.
的图象，若和
14．如图所示的算法框图中，若输出的y值为1，则输入的xx???10?,10??的值可能为__________．
??
15．设数列
?an?满足a1?2，a2?6，且an?2?2an?1?an?2，若[x]表示不超过x的最大整数，则
?201720172017???L????aaa22017??1__________．
y?e的切线，则b?___________．
16．若直线y?kx?b是曲线y?lnx?2的切线，也是曲线
x三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数令
f?x??12x?alnxf?x??02；当a?0时，?x?0，使成立，求a的取值范围；
，证明：对
g?x??f?x???a?1?x，a??1，e??x1，x2??1，a?，恒有
g?x1??g?x2??1．
18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知2B?A?C，且c?2a.求角
nA,B,C的大小；设数列?an?满足an?2cos(nC)，其前n项和为Sn，若Sn?20，求n的值.
19．（12分）设函数
f?x??x?1?x?a.当a?1时，求关于x的不等式
f?x??3的解集；若
f?x??4在
?0,2?上恒成立，求a的取值范围.
20．（12分）如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，D为AB的中点，底面?ABC为等腰直角三角形，?ACB??2,?ABB1??3?BC?2?B1C?2
求证：CD?平面
ABB1A1；求二面角
A1?BC?C1的余弦值.
21．（12分）随着人民生活水平的日益提高,某小区居民拥有私家车的数量与日俱增.由于该小区建成时间较早,没有配套建造地下停车场,小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵.该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量(累计值,如124表示2016年小区登记在册的所有车辆数,其余意义相同),得到如下数据: 编号x 年份 1 2014 2 2015 95 3 2016 124 4 2017 181 5 2018 216 34 数量y（单位：辆）（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系,求y关于x的线性回归方程,并预测2020年该小区的私家车数量；小区于2018年底完成了基础设施改造,划设了120个停车位,为解决小区车辆乱停乱放的问题,加强小区管理,物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区,由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租,租期一年,竞拍方案如下： ①截至2018年已登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；
②每车至多申请一个车位,由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价； ③根据物价部门的规定,竞价不得超过1200元；
④申请阶段截止后,将所有申请的业主报价自高到低排列,排在前120位的业主以其报价成交；
⑤若最后出现并列的报价,则以提出申请的时间在前的业主成交,为预测本:次竞拍的成交最低价,物业公司
随机抽取了有竞拍资格的40位业主进行竞拍意向的调查,统计了他们的拟报竞价,得到如下频率分布直方图：
求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000
元的人数；如果所有符合条件的车主均参与竞拍,利用样木估计总体的思想,请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功?(精确到整数) 参考公式:对于一组数据
n??a?x1,y1?,?x2,y2?,L,?xn,yn?,其回归直线y?bx?的斜率和截距的最小二乘估
niii??b计分别为：
?(x?x)(y?y)?xy?nxyii?1?(x?x)ii?1n?2i?1n?xi?12i?nx2$$ ，a?y?bx
f?x??422．（10分）已知函数f(x)?|x?a|?2|x?1|．当a?1时，求不等式的解集；设不等式f?x??2x?4的解集为M，若[0，3]?M，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．A 2．A 3．C 4．A 5．B 6．B 7．A 8．D 9．D 10．C 11．A 12．A
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
3?13．4
?14．2或?4?
15．2016
16．0或1
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（1）(??,?e]； （2）见解析. 【解析】 【分析】
(1)先将存在性问题转化为求f?x?最小值，再求导数，根据导函数零点以及导函数符号确定函数单调性，进而确定最小值，最后解不等式得a的取值范围；（2）先根据恒成立问题将不等式转化为对应函数最值问题，即证g?1??g?a??1.构造差函数h?a??得h?a??h?e??0，即证得结论. 【详解】
（1）当a?0，由f'?x??x?列表得：
13a?lna?，利用导数可得h?a?单调性，根据单调性可22aa，令f'?x??0，∴x??a， xx ?0,- ?a ??a 0 ?? ?a,?? ?f'?x? f?x? 这时f?x?min?f减函数 极小值 增函数 a?a???aln?a. 2a∵?x?0，使f?x??0成立，∴??aln?a?0，∴a??e，
2??∴a的范围为???,?e.
（2）因为对?x?1,a，g'?x??????x?1??x?a?1??0，所以g?x?在1,ax??内单调递减，
所以g?x1??g?x2??g?1??g?a??要证明g?x1??g?x2?121a?alna?. 221113?1，只需证明a2?alna??1，即证明a?lna??0.
2222a2131133?11?1令h?a??a?lna?，h'?a??????????0， 222a2a2a2?a3?3所以h?a??13a?lna?在a??1,e?是单调递增函数， 22a所以h?a??h?e??【点睛】
e3?e?3??e?1??1???0，故命题成立. 22e2e不等式有解与不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即
f?x??a恒成立?
a?f?x?max，
f?x??a恒成立?
a?f?x?min.
18．（1）A?【解析】 【分析】
πππ,B?,C?；（2）n?4或n?5. 632π.由余弦定理可得b2?3a2，结合勾股定理可知VABC为直3ππππ角三角形，从而可得C?，A???；
2236（1）由题意结合三角形内角和为π可得B??0,n为奇数22k?2?4（2）结合（1）中的结论可得an? ?n，由此可列出Sn?S2k?1?S2k? ，k?N，
2,n为偶数3?从而可得到关于实数k的方程22k?2?64，解方程可得k?2，再根据题意以及Sn?S2k?1?S2k可得出
n?4或n?5．
【详解】
（1）由已知2B?A?C，又A?B?C?π， 所以B?π. 3π?3a2， 3又c?2a，
所以b?a?c?2accosB?a?4a?2a?2acos所以c2?a2?b2，
所以VABC为直角三角形，且C?所以A?22222π， 2πππ??. 236nn（2）由题意知，an?2cos?nC??2cos?0,n为奇数nπ? ?n. 22,n为偶数?42k由题意可知Sn?S2k?1?S2k? 0?2?0?2?L?0?22?
41?22k1?4???22k?23?4，k?N，
22k?2?4由?20，得22k?2?64，
3所以2k?2?6， 所以k?2，
所以n?4或n?5. 【点睛】
本题把数列与三角函数相结合，考查余弦定理的应用，数列求和，考查计算能力，属于中档题． 19． (1) ???,??U?,??? (2) 1?a?3
22??3???3???【解析】 【分析】
（1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集； （2）因为x??0,2?，得x?1?x?a?4，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解。 【详解】
??2x,x??1?（1）因为f?x??x?1?x?1??2,?1?x?1，
?2x,x?1?所以f?x??3的解集为???,????,???.
2??2??（2）因为x?0,2，所以x?1?x?a?4， 即x?a?3?x，则?3??a?3?2x， 所以1?a?3. 【点睛】
本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨
论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 20．（1）见证明；（2）【解析】 【分析】
（1）利用等腰三角形三线合一可得CD?AB；利用勾股定理可证得CD?B1D；根据线面垂直判定定理可证得结论；（2）以D为原点建立空间直角坐标，利用空间向量法求解出平面A1BC和平面BCC1的法向量，利用数量积计算夹角，可求得二面角的余弦值. 【详解】
（1）证明：QD为AB的中点，AC?BC ?CD?AB 又四边形ABB1A1为菱形，D为AB的中点，?ABB1??3??3???3105 35?3,AB?2BC?2
222可得B1D?3，CD?1，B1C?2 ?B1D?CD?B1C ?CD?B1D
QAB?平面ABB1A1，B1D?平面ABB1A1，ABIB1D?D
\\CD^平面ABB1A1
（2）以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系
,?，C?1,0,0?，C11,1,3 可知：A10,2,3，B?0,?10uuuruuuuruuur?BA1?0,3,3，BC??1,1,0?，CC1?0,1,??????3?
?设平面A1BC的法向量m??x1,y1,z1?
rvruuu?r?m?BA1?3y1?3z1?0v则?ruuu，令y1?1，则x1??1，z1??3 ?m??1,1,?3
??m?BC?x1?y1?0??设平面BCC1的法向量n??x2,y2,z2?
rvruuu?r?n?BC?x2?y2?0z?1?n? 则?ruuu，令2，则y2??3，x2?3uv??n?CC1?y2?3z2?0又二面角A1?BC?C1为锐二面角，设二面角A1?BC?C1为?
?3,?3,1
?rr|m?n|33333105 ?cos??rr???|m||n|355?735即二面角A1?BC?C1的余弦值为：【点睛】
本题考查线面垂直关系的证明、空间向量法求解二面角的问题，要明确的是二面角等于两个平面法向量所
成角或所成角的补角.
21．（1）310（2）（i）12（ii）974 【解析】 【分析】
（1）利用回归直线方程方程计算公式，计算出回归直线方程，令x?7求得预测值.（2）（i）根据频率分布直方图计算出不低于1000的频率，由此计算出人数. （ii）先求得能够竞拍成功的比例为
3105 355，用9?5?1000???0.3??100求得竞拍成功的最低报价.
?9?【详解】
解：（1）由表中数据，计算得，x?1??1?2?3?4?5??3， 51y???34?95?124?181?216??130，
5????2????96????1????35??0?1?51?2?86 ?450?45， b2210??2????1??0?12?22??130?45?3??5， ??y?bxa??45x?5， 故所求线性回归方程为y??310， 令x?7，得y所以预测2020年该小区的私家车数量为310辆.
（2）（i）由频率分布直方图可知，有意向竞拍报价不低于1000元的频率为?0.25?0.05??1?0.3， 共抽取40位业主，则40?0.3?12，
所以有意向竞拍报价不低于1000元的人数为12人. （ii）由题意，
1205?， 21695比例的业主可以竞拍成功， 9所以竞价自高到低排列位于前
结合频率分布直方图，预测竞拍成功的最低报价为
8770?5?1000???0.3??100??974元.
9?9?【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的计算，考查频率分布直方图的有关计算，属于中档题.
2]. 1]； （2）[1，22．（1）[?，【解析】 【分析】
533?M，则问题转化为x?a?2x?1?2x?4|在(1)利用零点讨论法解绝对值不等式得解；（2）若0，3?恒成立，3?恒成立，即x?a?2，故?2?x?a?2，故?2?x??a?2?x在?0，即x?2?a?x?2?0，3恒成立，所以1?a?2. 在0，【详解】
????fx）＝x﹣1?2x?1， （）1a＝1时，（
【附15套精选模拟试卷】吉林省松原市高中2020届高三下学期第四次模拟考试卷数学理试卷含解析
