所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
第2章系统的数学模型 (习题答案)
2.1什么是系统的数学模型？常用的数学模型有哪些？
解：数学模型就是根据系统运动过程的物理、化学等规律，所写出的描述系统运动规律、特性、输出与输入关系的数学表达式。常用的数学模型有微分方程、传递函数、状态空间模型等。
2.2 什么是线性系统？其最重要的特性是什么？
解：凡是能用线性微分方程描述的系统就是线性系统。线性系统的一个最重要的特性就是它满足叠加原理。
2.3 图( 题2.3) 中三图分别表示了三个机械系统。求出它们各自的微分方程, 图中xi表示输入位移, xo表示输出位移, 假设输出端无负载效应。
题图2.3
解：①图(a)：由牛顿第二运动定律，在不计重力时，可得
整理得
将上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即初始条件全部为零，可得
[
于是传递函数为
]
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
②图(b)：其上半部弹簧与阻尼器之间，取辅助点A，并设A点位移为x，方向朝下；而在其下半部工。引出点处取为辅助点B。则由弹簧力与阻尼力平衡的原则，从A和B两点可以分别列出如下原始方程：
消去中间变量x，可得系统微分方程
对上式取拉氏变换，并记其初始条件为零，得系统传递函数为
③图(c)：以的引出点作为辅助点，根据力的平衡原则，可列出如下原始方程：
移项整理得系统微分方程
对上式进行拉氏变换，并注意到运动由静止开始，即
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
则系统传递函数为
2.4试建立下图（题图2.4）所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压ur(t)和位移xr(t)为输入量；电压uc(t)和位移xc(t)为输出量；k,k1和k2为弹簧弹性系数；f为阻尼系数。
C??fkur(t)?Ruc(t)?xr(t)xc(t)(a)(b)f?ur(t)R1R2C?uc(t)k1xr(t)xc(t)k2??(d)(c)
题图2.4
【解】：(a)
方法一：设回路电流为i，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：
?1u?idt?uc?r? C??u?Ri?c消去中间变量，整理得：
RC方法二：
ducdur?uc?RC dtdtUc(s)?Ur(s)RR?1?RCsRCs?1?RCducdur?uc?RC dtdtCs3
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
(b)由于无质量，各受力点任何时刻均满足
?F?0，则有：
fdxcfdxr ?xc?kdtkdtdxdxf(r?c)?kxcdtdtR2?1Cs?(c)Uc(s)duR2Cs?1du???(R1?R2)Cc?uc?R2Cr?ur Ur(s)R?R?1?R1?R2?Cs?1dtdt12Cs(d)设阻尼器输入位移为xa，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程
?k1(xr?xc)?k2(xr?xa)???dxak2(xc?xa)?f?dt?k1?k2dxcfdxrf?xc??xr k1k2dtk2dt结论：(a)、(b)互为相似系统，(c)、(d)互为相似系统。四个系统均为一阶系统。
2.5试求下图（题图2.5）所示各电路的传递函数。
R1CR1?ur(t)?LR2?C1R2?uc(t)ur(t)C2uc(t)_(a)R1__(b)_?R2??CC1?RRC2uc(t)ur(t)Luc(t)ur(t)_(c)__(d)_
题图2.5
【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。
1?R2)//LsUc(s)R2LCR2s2Cs???(a) Ur(s)R?(1?R)//Ls1?R(R1?R2)LCs2?(R1R2C?L)s?R1122CsCs(同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
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R11//(b)
Uc(s)C1sU?1??R1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2)s?1r(s)(R11R1//1R2C1C2s2?(R1C 1?R2C2?RC)s?1Cs)?R2?121C2s1(c) U//(Rc(s)2?Ls)U?Cs?R2?Ls r(s)R1?1Cs//(R2?Ls)R1LCs2?(R1R2C?L)s?R1?R21(d)
Uc(s)U?C2s(R?1?C)//R1sR
r(s)(R?111?C)//R?1C(R?)//R?R?11s2sC1sC2sC1s2?RC1C2s2?2RC1s?1R2C1C2s2?(2RC1?RC2)s?1
2.6求图( 题图2.6) 所示两系统的微分方程。
题图2.6
解（1）对图（a）所示系统，由牛顿定律有
即
（2）对图（b）所示系统，由牛顿定律有
其中
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控制工程基础第2章答案(新)
