1．5.1 全称量词与存在量词
1．能够记住全称量词和存在量词的概念．
2．学会用符号语言表达全称量词命题和存在量词命题，并判断真假．
3．理解全称量词命题、存在量词命题与其否定的关系，能正确对含有一个量词的命题进行否定．
1．全称量词与全称量词命题
2.存在量词与存在量词命题
1．x>2是命题吗？对任意的x∈R，x>2是命题吗？
[答案] x>2不是命题，不能判断真假，而对任意的x∈R，x>2则是命题 2．全称量词命题和存在量词命题中是否一定含有全称量词和特称量词？
[答案] 命题“正方形是特殊的菱形”，该命题中没有全称量词，即全称量词命题不一定含有全称量词
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．( ) (2)“三角形内角和是180°”是存在量词命题．( ) (3)“有些三角形没有内切圆”是存在量词命题．( ) (4)内错角相等是全称量词命题．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
题型一全称量词命题与存在量词命题
【典例1】 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题． (1)凸多边形的内角和等于360°； (2)有的力的方向不定； (3)矩形的对角线不相等；
(4)存在二次函数y＝ax＋bx＋c与x轴无交点． [思路导引] 找命题中的量词及其命题的含义．
[解] (1)可以改为所有的凸多边形的内角和等于360°，故为全称量词命题． (2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．
(3)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为全称量词命题． (4)含有量词“存在”，是存在量词命题．
判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断．
[针对训练]
1．用全称量词或存在量词表示下列语句 (1)不等式x＋x＋1>0恒成立；
121
(2)当x为有理数时，x＋x＋1也是有理数；
32(3)方程3x－2y＝10有整数解；
(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直． [解] (1)对任意实数x，不等式x＋x＋1>0成立． 121
(2)对任意有理数x，x＋x＋1是有理数．
32
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(3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立．
(4)若一个四边形是菱形，则所有这样菱形的对角线互相垂直. 题型二判断全称量词命题的真
【典例2】 判断下列全称量词命题的真假． (1)任意实数的平方均为正数． (2)函数y＝kx＋b为一次函数． (3)同弧所对的圆周角相等． (4)?x∈R，x＋3≥3.
[解] (1)假命题．若这个实数为0，则其平方为0，不是正数．所以“任意实数的平方均为正数”为假命题．
(2)假命题．当k＝0时，y＝kx＋b不是一次函数，为常函数．所以“函数y＝kx＋b为一次函数”是假命题．
(3)真命题．根据圆周角的性质可知其为真命题． (4)真命题．?x∈R，x≥0，故有x＋3≥3成立．
判断全称量词命题真假的方法
要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可．
[针对训练]
2．判断下列全称量词命题的真假． (1)对每一个无理数x，x也是无理数． (2)末位是零的整数，可以被5整除． (3)?x∈R，有|x＋1|>1.
[解] (1)因为2是无理数，但(2)＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x也是无理数”是假命题．
(2)因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．
(3)当x＝0时，不满足|x＋1|>1，所以“?x∈R，有|x＋1|>1”为假命题． 题型三存在量词命题真假的判断
【典例3】 判断下列存在量词命题的真假． (1)有的集合中不含有任何元素． (2)存在对角线不互相垂直的菱形． (3)?x∈R，满足3x＋2>0. (4)有些整数只有两个正因数．
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[解] (1)由于空集中不含有任何元素．因此“有的集合中不含有任何元素”为真命题． (2)由于所有菱形的对角线都互相垂直．所以不存在对角线不垂直的菱形．因此存在量词命题“存在对角线不互相垂直的菱形”为假命题．
(3)?x∈R，有3x＋2>0，因此存在量词命题“?x∈R,3x＋2>0”是假命题． (4)由于存在整数3只有正因数1和3.所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”为真命题．
判断存在量词命题真假的方法
判断存在量词命题“?x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题．
[针对训练]
3．判断下列存在量词命题的真假． (1)有些二次方程只有一个实根． (2)某些平行四边形是菱形．
(3)存在实数x1、x2，当x1
[解] (1)由于存在二次方程x－4x＋4＝0只有一个实根，所以存在量词命题“有些二次方程只有一个实根”是真命题．
(2)由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题．
(3)当x1＝－2，x2＝1时有x1>x2，故“存在实数x1、x2，当x1
题型四含有量词的命题的应用
【典例4】 已知命题“?1≤x≤2，x－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围． [解] ∵“?1≤x≤2，x－m≥0”成立， ∴x－m≥0对1≤x≤2恒成立．
又y＝x在1≤x≤2上y随x增大而增大，∴y＝x－m的最小值为1－m. ∴1－m≥0.解得m≤1.
∴实数m的取值范围是{m|m≤1}．
[变式] 若把本例中的“?”改为“?”，其他条件不变，求实数m的取值范围． [解] ∵“?1≤x≤2，x－m≥0”成立， ∴x－m≥0在1≤x≤2有解． 又函数y＝x在1≤x≤2上单调递增， ∴函数y＝x在1≤x≤2上的最大值为2＝4.
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∴4－m≥0，即m≤4.
∴实数m的取值范围是{m|m≤4}．
求参数范围的2类题型
(1)全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．
(2)存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．
[针对训练]
4．是否存在实数m，使不等式m＋x－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由． [解] 不等式m＋x－2x＋5>0可化为
2
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m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.
要使m>－(x－1)－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．
故存在实数m使不等式m＋x－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4. 5．若存在一个实数x，使不等式m－x－2x＋5>0成立，求实数m的取值范围． [解] 不等式m－(x－2x＋5)>0可化为m>x－2x＋5.
令t＝x－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x－2x＋5成立，只需m>tmin. 又t＝(x－1)＋4，∴tmin＝4，∴m>4. 所以所求实数m的取值范围是{m|m>4}．
课堂归纳小结
1．判断全称量词命题的关键：一是先判断是不是命题；二是看是否含有全称量词． 2．判定全称量词命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真；代入法：在给定的集合
内找出一个x，使p(x)为假，则全称量词命题为假．
3．判定存在量词命题真假的方法：代入法，在给定的集合中找到一个元素x，使命题
2
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p(x)为真，否则命题为假.
1．下列命题中，不是全称量词命题的是( ) A．任何一个实数乘0都等于0
新教材人教A版高中数学必修第一册 1.5.1全称量词与存在量词 精品学案
