高中数学选修4-5单元教学设计 - 图文

.

市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称 三 维 目 标 知识 与 技能 不等式和绝对值不等式 课型 新授课 1． 理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础。 2． 掌握不等式的基本性质，并能加以证明；会用不等式的基本性质判断不等关系和用比较法，反证法证明简单的不等式。 过程 与 方法 情感态度与价值观 能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 重 难 点 单元 课时 计划 重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法。 难点：灵活应用不等式的基本性质。 教 学 过 程 设 计 一、新课引入： 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a克糖水中含有b克糖(a>b>0)，若再加m(m>0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为证 批 注 bb?m，加入m克糖 后的糖水浓度为，只要aa?mb?mb>即可。怎么证呢? a?ma1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数二、不等式的基本性质： 轴上的表示可知： a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 a?b?a?b?0 .

.

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质： ①、如果a>b，那么bb。(对称性) ②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>c?a>c。 ③、如果a>b，那么a+c>b+c，即a>b?a+c>b+c。 推论：如果a>b，且c>d，那么a+c>b+d．即a>b， c>d?a+c>b+d． ④、如果a>b，且c>0，那么ac>bc；如果a>b，且c<0，那么acb >0，那么a?b(n?N，且n>1) ⑥、如果a>b >0，那么na?三、典型例题： 例1、比较(x?3)(x?7)和(x?4)(x?6)的大小。 分析：通过考察它们的差与0的大小关系，得出这两个多项式的大小关系。 例2、已知a?b,c?d，求证：a?c?b?d． 例3、已知a>b>0，c>d>0，求证：四、课堂练习： 1：已知x?3，比较x?11x与6x?6的大小。 32nnnb(n?N，且n>1)。 a?dbc。 2：已知a>b>0，c

.

.

市华阳中学课堂教学单元设计

单元名称 三 维 目 标 重 难 点 单元 课时 计划 教 学 过 程 设 计 一、知识学习： 定理1：如果a、b∈R，那么a＋b≥2ab（当且仅当a＝b时取“＝”号） 2 2基本不等式 1.学会推导并掌握均值不等式定理； 课型 新授课 知识 与 技能 过程 与 方法 情感态度与价值观 2.能够简单应用定理证明不等式并解决一些简单的实际问题。 能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 发展学生的思维能力，通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 重点：均值不等式定理的证明及应用。 难点：等号成立的条件及解题中的转化技巧。 批 注 证明：a＋b－2ab＝（a－b） 2 22 当a≠b时，（a－b）＞0，当a＝b时，（a－b）＝0 22所以，（a－b）≥0 即a＋b≥2ab 2 2 2由上面的结论，我们又可得到 定理2（基本不等式）：如果a，b是正数，那么 ＝b时取“＝”号） 证明：∵（a ）＋（b ）≥2ab 22a＋b2 ≥ab （当且仅当a∴a＋b≥2ab ，即a＋b2 ≥ab .

.

显然，当且仅当a＝b时，a＋b2 ＝ab 说明：1）我们称a＋b2 为a，b的算术平均数，称ab 为a，b的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2）a＋b≥2ab和 2 2a＋b2 ≥ab 成立的条件是不同的：前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都是正数. 3）“当且仅当”的含义是充要条件. 4）几何意义. 二、例题讲解： 例1 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P ； 12（2）如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 S 4证明：因为x，y都是正数，所以 x＋y2 ≥xy （1）积xy为定值P时，有x＋y2 ≥P ∴x＋y≥2P 上式当x＝y时，取“＝”号，因此，当x＝y时，和x＋y有最小值2P . S1 2 （2）和x＋y为定值S时，有xy ≤ ∴xy≤ S241 2上式当x=y时取“＝”号，因此，当x=y时，积xy有最大值 S. 4说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在。 .

.

例2 ：已知a、b、c、d都是正数，求证： （ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识. 证明：由a、b、c、d都是正数，得 ab＋cd2 ≥ab·cd ＞0，ac＋bd2 ≥ac·bd ＞0， （ab＋cd）（ac＋bd）∴ ≥abcd 4即（ab＋cd）（ac＋bd）≥4abcd 例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m，深为3m，如果池底每1m的造价为150元，池壁每1m的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理. 解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得 223l＝240000＋720（x＋1600 ）≥240000＋720×2xx·1600 x＝240000＋720×2×40＝297600 1600当x＝ ，即x＝40时，l有最小值297600 x因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元. 评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件. 三、课堂练习：课本P91练习1，2，3，4. 四、课堂小结： 通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平.