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0??1?L??i?L??m,
其中?j?Vj(j?1,2,L,m)且??i?0.于是
??L?V), ?i?L??m?ViI(V1?L?V??i??1?L??im与3)矛盾,于是2)成立.
3)?4)对m作归纳.
①m=2时,由维数公式得到
dim(V1?V2)?dimV1?dimV2?dim(V1IV2)?dimV1?dimV2.
②设m?1(m?3)已证,则对于m,
dim(V1?V2?L?Vm)?dimVm?dim(V1?V2?L?Vm?1)?dim(VmI(V1?V2?L?Vm?1))?dimVm?dim(V1?V2?L?Vm?1),而?i,1?i?m?1,都有
垐ViI(V1?L?Vi?L?Vm?1)?ViI(V1?L?Vi?L?Vm)?{0}；
由归纳假设,可以得到dim(V1?V2?L?Vm)?dimV1?dimV2?L?dimVm.
4)?3)?i,1?i?m,都有
垐dim(ViI(V1?L?Vi?L?Vm))?dim(Vi)?dim(V1?L?Vi?L?Vm)?dim(V1?V2?L?Vm)?0, ??L?V)?{0},?i?1,2,L,m.证毕. 于是ViI(V1?L?Vim推论 设V1,V2为V的有限维子空间,则下述四条等价: i)V1?V2是直和； ii)零向量的表示法唯一； iii)V1IV2?{0}；
iv)dim(V1?V2)?dimV1?dimV2. 2.直和因子的基与直和的基
命题 设V?V1?V2?L?Vm,则V1,V2,L,Vm的基的并集为V的一组基.
证明: 设?i1,?i2,L,?ir是Vi的一组基,则V中任一向量可被
i---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
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U{?i?1mi1,?i2,L,?ir}线性表出.又dimV??dimVi?r1?r2?L?rm,由命题4.5,
imi?1它们线性无关,于是它们是V的一组基. 证毕.
3.补空间的定义及存在性
定义 设V1为V的子空间,若子空间V2满足V?V1?V2,则称为V1的补空间.
命题 有限维线性空间的任一非平凡子空间都有补空间.
证明: 设V1为K上的n为线性空间V的非平凡子空间,取V1的一组基
?1,?2,L,?r,将其扩为V的一组基?1,?2,L,?r,?r?1,?r?2,L,?n取
V2?L(?r?1,?r?2,L,?n),则有
V?V1?V2,且dimV1?dimV2?n?dim(V1?V2),
于是V?V1?V2,即V2是V1的补空间.证毕.
§8 线性空间的同构
一 授课内容:§1线性空间的同构
二 教学目的:通过本节的学习,掌握线性空间同构的有关定义及线性空
间同构的判定.
三 教学重点:线性空间同构的判定. 四 教学难点:线性空间同构的判定. 五 教学过程:
1.线性映射的定义
定义 设U,V为数域K上的线性空间,?:U?V为映射,且满足以下两个条件:
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i)?(???)??(?)??(?),(??,??U)； ii)?(k?)?k?(?),(???U,k?K), 则称?为(由U到V的)线性映射.
由数域K上的线性空间U到V的线性映射的全体记为HomK(U,V),或简记为Hom(U,V).
定义中的i)和ii)二条件可用下述一条代替:
?(k??l?)?k?(?)?k?(?),(??,??U,k,l?K).
例 Mm?n(K)是K上的线性空间,Ms?n(K)也是K上线性空间,取定一个K上的s?m矩阵A,定义映射
?:Mm?n(K)?Ms?n(K),xaAX.则?是由Mm?n(K)到Ms?n(K)的线性映射.
例 考虑区间(a,b)上连续函数的全体,它是R上的线性空间,令
U?L(1,sinx,sin2x,L,sinnx), V?L(1,cosx,cos2x,L,cosnx).
再令
?:则?是由U到V的一个线性映射.
定义 设?:U?V是线性映射
U?V,f(x)aAX.
i)如果?是单射,则称?是单线性映射(monomorphism)； ii)如果?是满射,则称?是满线性映射(endmorphism)；
iii)如果?既单且满,则称?为同构映射(简称为同构,isomorphism),并说U与V是同构的,同构映射也称为线性空间的同态(homomorphism),同构映射的逆映射也是同构映射；
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iv)?的核(kernel)定义为ker??{??U|?(?)?0}；
v)?的像(image)定义为im?={??V|???U,s.t?(?)??},也记为
?(U)；
命题 ker?和im?是V的子空间. 证明:容易证明它们关于加法和数乘封闭. vi)?的余核定义为coker??V/im?.
命题 线性映射f是单的当且仅当kerf?{0},f是满的当且仅当cokerf?{0}.
定理(同态基本定理) 设f:U?V是数域K上的线性空间的满线性映射,则映射
?:U/kerf?V,
??kerfaf(?).是同构映射.
证明:首先证明?是映射,即若???'?U/kerf,则?(?)??(?').由于???',存在??kerf,使得???'??.于是
f(?)?f(?'??)?f(?')?f(?)?f(?'),即?(?)??(?').
再证明?是线性映射.??,??U/ker?,k,l?K,有
?(k??l?)?f(k??l?)?kf(?)?lf(?)?k?(?)?l?(?).
易见?是满射,且有V?imf.只要再证明?是单射即可,即证明
ker??{0}.设??ker?,则?(?)?f(?)?0,于是??kerf,即有??0.
证毕.
命题 设?:U?V是线性映射,dimU?n,则下述三条等价: i)?单；
ii)?将U中任意线性无关组映为V中的线性无关组； iii)dim?(U)?n.
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证明:i)?ii)若?1,?2,L,?t?V线性无关,则令
k1?(?1)?k2?(?2)?L?kt?(?t)?0,
由线性映射的定义,?(k1?1?k2?2?L?kt?t)?0.?单,于是
k1?1?k2?2?L?kt?t?0,则k1?k2?L?kt?0,ii)成立；
ii)?iii)若取U的一组基?1,?2,L,?n,则由已知,
?(?1),?(?2),L,?(?n)线性无关,而im?中任意向量可以被?(?1),?(?2),L,?(?n)线性表出,于是?(?1),?(?2),L,?(?n)构成im?的一组基,iii)成立；
iii)?i)由同态基本定理知U/ker??im?,于是
dimU?dimker??dimim??dimker??0,即有ker??{0}.证毕.
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高等代数北大版教案-第6章线性空间
