高一数学竞赛试题（1）
(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)
第一卷（本卷100分）
一、选择题（每小题5分，共50分）
1．下列结论中正确的是（ ）
A．?0???0,1,2,3? B．2?无理数
??
C．x|x2?0?? D．等腰三角形?等腰直角三角形 2．若集合M={x│x2?3x+2≥0}，N={x|x?5,x?R}，则M∩N是（ ） A．{x|?5?x?1} B. {x|2?x?5} C. {x|?5?x?1或2?x?5} D. ? 3．函数y?x?2的图象是( )
??????
4. 一个教室的面积为x m, 其窗子的面积为y m, (x>y), 如果把y/x称为
2
这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m, 则其亮度将( )
2
2
A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不确定 5．奇函数f(x)在(0,??)上的表达式为f(x)?x?表达式为f(x)=( ) A．?x?
x,则在(??,0)上的f(x)的
x B．x??x D．?x??x
C．?x??x
6．函数f?x??x?2?x?2是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
7．已知2x2?3x≤0，则函数f (x) = x2
+x+1 ( )
A. 有最小值
34, 但无最大值 B. 有最小值34, 有最大值1 C. 有最小值1，有最大值194 D. 以上选项都不对
8. 方程ax2
+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（ ）
A. 0 9. 已知y?loga(2?ax)在[0，1]上为x的减函数，则a的取值范围为（A．（0，1） B．（1，2） C．（0，2） D．[2,??)10．若 loga2?logb2?0，则( ) A. 0＜a＜b＜1 B. 0＜b＜a＜1 C. a＞b＞1 D. b＞a＞1 二．填空题（每小题5分，共15分） 11．数y=logx?1(x2?1)的定义域是____________________ 12．“若(x?1)(y?2)?0，则x?1或y??2”的否命题是 _________________________________________________ 13．函数y=3x?13x?1的反函数是______________________________ 三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程) 14．（10分） （1）求函数f(x)?6x2?3x?2?x2?4的定义域； （2）已知函数f(x)?3x?4的值域为[?1，5]，求函数f(x)的定义域。 ） 15．（10分）设集合A?{x|x2?(p?2)x?1?0,x?R}，若A∩R???， 求实数p的取范围。 16．（15分）某商人如果将进货单价为８元的商品按每件10元售出时，每天可销售100 件，现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问他将售价定为多少时，才能使每天所赚得的利润最大？最大利润是多少？ 第二卷（共50分） 四．选择题（每小题5分，共15分） 17．已知x?a,y?aa,z?aaa(a?(0,1))，那么，下列式子成立的是（ ） A．x < y < z B. z < y < x C. z < x < y D. x < z < y (n?10)?n?318．已知n?N，且f(n)??，则f(5)的值等于 f[f(n?5)](n?10)?A．9 B．10 C．7 D．8 19. 甲乙两人同时到同一商店分两次购买面粉, 甲每次都购买10千克, 乙每次 都购买10元钱的。已知两次价格不同, 设甲两次的平均价格为p, 乙两次 的平均价格为q, 则( ) A. p>q B. p=q C. p 五．填空题（每小题5分，共10分） 20. 不等式|x?1|?x?3?x?1的解集_____________ 21．有一函数f(n)(n?N*),n=1时，f(n?1)?f(n)?3；当n为偶数时， f(n?1)?f(n)?3；n为奇数时，f(n?1)?f(n)??1。则f(n)?_________ 六．解答题（共25分） 22．（10分）已知函数f(x)?lg(ax?bx)(a,b为常数)， ①当a,b?0,且a?b时,求f(x)的定义域； ②当a?1?b?0时,判断f(x)的单调性，并用定义证明。 a?4x?a?223．（15分）设a?R,f(x)为奇函数，且f(2x)? x4?1（1）试求f(x)的反函数f（2）设g(x)?log 附加参考题（不计分） 24．讨论函数f(x)?px??1(x)及其定义域； ?11?x12.若x?[,],f2k23求实数k取值范围。 (x)≤g(x)恒成立， q(p,q均为大于0的常数)的单调性。 x 参考答案（仅供参考） 一． BCCAB ACDBA 二． 11. (1,2)∪(2,+∞) 12．若(x?1)(y?2)?0，则x?1且y??2 13.y?log31?x,(?1?x?1) 1?x三． 14. 略（第2问应要求说明函数单调性） 15. 记方程判别式△=（p+2）2 – 4 因为A?R???，所以方程x2?(p?2)x?1?0 (*)无正实数根。 (1)若方程（*）无实数根，则A??，所以△<0，即?4?p?0， 此时A?R???，故?4?p?0满足条件。 (2)若方程（*）有实数根，显然x=0不是根，所以根均为负数, 所以??p??4或p?0???0 ??，?p?0, p??2?-(p?2)?0?综合（1）（2）有p>-4 16. 略（要求逐步分析，写出函数式，再解决问题） 四． 17~19题 DDA 五．20. [-3, 1)∪(1,+∞) 21．f(n)???n?1(n为偶数) ?n?1(n为奇数)a六．22．解：①ax?bx?0?ax?bx?()x?1, b 若a?b?0,则a?1?x?0为f(x)定义域. ba若0?a?b,则0??1?x?0为f(x)定义域. bx1②任取x1,x2使0?x1?x2(a?b), 由a?1?a?ax2;再由0?b?1?bx1?bx2??bx1??bx2 所以ax1?bx1?ax2?bx2, ?lg(ax1?bx1)?lg(ax2?bx2),即f(x1)?f(x2)， 所以，f(x)为增函数。
高一数学竞赛试题5
