第二课时 绝对值不等式的解法
[基础达标]
1.不等式2<|2x＋3|≤4的解集为 7511??
－ ? ? 7511?? － ? ? 7511?? －≤x<－或－ ?? ? 7511?? －≤x≤－或－ ? 7511解析 由2<|2x＋3|≤4得－4≤2x＋3<－2或2<2x＋3≤4，解得－≤x<－或－ 2222故选C. 答案 C 2.集合{x|0<|x－1|<3，x∈Z}的真子集个数为 A.15 B.31 C.8 D.7 解析 由0<|x－1|<3得－3 3.不等式|2x＋1|－2|x－1|＞0的解集为________. 解析 根据绝对值的几何意义，去掉绝对值号后求解. 1 当x≤－时，原不等式可化为－1－2x＋2(x－1)＞0，整理得－3＞0，无解. 2 11当－＜x≤1时，原不等式可化为2x＋1＋2(x－1)＞0，整理得4x－1＞0，即x＞，∴ 241 ＜x≤1. 4 当x＞1时，原不等式可化为2x＋1－2(x－1)＞0， 整理得3＞0. 此时不等式的解为x＞1. 1??1?? ＜x≤1?∪{x|x＞1}＝?x?x＞?. ∴原不等式的解集为?x??4?4 ? ? ? ? 1?? x＞? 答案 ?x?4??? 4.不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________. 解析 思路一：利用数轴对x进行分类讨论去掉绝对值符号，再解不等式.思路二：借助数轴，利用绝对值的几何意义求解. 解法一 要去掉绝对值符号，需要对x与－2和1进行大小比较，－2和1可以把数轴分成三部分.当x＜－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；当－2≤x＜1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}. 解法二 |x－1|＋|x＋2|表示数轴上的点x到点1和点－2的距离的和，如图所示，数轴上到点1和点－2的距离的和为5的点有－3和2，故满足不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的x的取值为x≤－3或x≥2，所以不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}. 答案 {x|x≤－3或x≥2} 5.已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|)－2≤x≤1}. (1)求a的值； ?x??≤k恒成立，求k的取值范围. (2)若?f（x）－2f??2?? 解析 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|)－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意. 42 当a＞0时－≤x≤，得a＝2. aax? (2)记h(x)＝f(x)－2f??2?， 1，x≤－1， ? ?－4x－3，－1＜x＜－1，2 则h(x)＝? 1?－1，x≥－，?2所以|h(x)|≤1，因此k≥1. [能力提升] 1.不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是 A.{x|0≤x＜1} C.{x|－1＜x＜1} B.{x|x＜0且x≠－1} D.{x|x＜1且x≠－1} 解析 解法一 原不等式等价于不等式组 ???1＋x＞0?1＋x＜0?①或?②， ?1－|x|＞0?1－|x|＜0?? 由①式得－1＜x＜1，由②式得x＜－1， 故知原不等式的解集是{x|x＜1且x≠－1}，故选D. 解法二 取x＝0，－2，显然是原不等式的解，故排除A、B、C从而选D. 解法三 函数y＝(1＋x)(1－|x|)的零点为－1，1，在(－∞，－1)，(－1，1)，(1，＋∞)上y的正负号依次为正、正、负，故选D. 答案 D 2.不等式|2x2－1|≤1的解集为 A.{x|－1≤x≤1} C.{x|0≤x≤2} B.{x|－2≤x≤2} D.{x|－2≤x≤0} 解析 解法一 |2x2－1|≤1?－1≤2x2－1≤1?0≤2x2≤2?0≤x2≤1?－1≤x≤1. 解法二 从选项中找特殊值2，－2代入不等式中，发现不等式不成立，所以舍去B、C、D，故选A. 答案 A 3. |2x－1|－2 ＞0的解集为 |x＋3| 31?? A.?x |x＞或x＜－?) 22??13?? B.?x |－＜x＜?) 22?? 31?? C.?x |x＞或x＜－且x≠－3?) 22??D.{x|x∈R且x≠－3} 答案 C 4.已知y＝loga(2－ax)在[0，1]上是增函数，则不等式loga|x＋1|>loga|x－3|的解集为 A.{x|x<－1} B.{x|x<1} C.{x|x<1，且x≠－1} D.{x|x>1} 解析 因为a>0，且a≠1，所以2－ax为减函数. 又y＝loga(2－ax)在[0，1]上是增函数， 所以0 所以|x＋1|<|x－3|，且x＋1≠0，x－3≠0. 由|x＋1|<|x－3|，得(x＋1)2<(x－3)2， 即x2＋2x＋1 故原不等式的解集为{x|x<1，且x≠－1}. 答案 C 1 x＋?>|2a＋1|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值5.若关于x的不等式??x?范围是 A.[－1，0] C.(－1，1) B.(－1，0) D.[－1，1] 1 x＋?≥2(x≠0)， 解析 ∵??x?∴|2a＋1|＋1<2， 即|2a＋1|<1， 解得－1 16.设f(x)＝x2－bx＋c，不等式f(x)＜0的解集是(－1，3)，若f(7＋|t|)＞f(1＋t2)，则实 a数t的取值范围是 A.(－1，2) C.(2，3) 答案 B 2 7.不等式>3的解集是________. |x|22??－ 8.若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________. 解析 ∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，只需|m－1|≤4，即－3≤m≤5. B.(－3，3) D.(－1，3) 答案 [－3，5] 9.不等式|x－1|＋|2x＋1|＞1的解集是________. 1??x≤－2， 解析 原不等式等价于? ??－3x＞1 1??－2＜x＜1，??x≥1，11 或?或?解得x≤－或－＜x＜1或x≥1，所以x∈R. 22?3x＞1，???x＋2＞1答案 R 1 10.若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是 2________. ? ?－x＋3，－2≤x＜1， 2当x＜－2时，y＝－3x－1＞5； 解析 设y＝|2x－1|＋|x＋2|＝? 1?3x＋1，x≥.?2 1515 当－2≤x＜时，y＝－x＋3＞；当x≥时，y＝3x＋1≥，故函数y＝|2x－1|＋|x＋2| 22225151 的最小值为.因为不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，所以≥a2＋a 22221511 －1，?. ＋2.解不等式≥a2＋a＋2，得－1≤a≤，故a的取值范围为?2??222 1 －1，? 答案 ?2?? 11.设函数f(x)＝|2x－4|＋1. (1)画出函数y＝f(x)的图象； (2)若不等式f(x)≤ax的解集非空，求a的取值范围. －3x－1，x＜－2， ??－2x＋5，x＜2， 解析 (1)由于f(x)＝? ?2x－3，x≥2，? 则函数y＝f(x)的图象如图所示.
人教A版数学选修4-5抢分教程能力提升：第1讲 不等式和绝对值不等式 二、第二课时
