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目 录
1. 引言 ............................................................................................................................................ 1 2. 利用 DFT 对有限长序列进行谱分析 ..................................................................................
2.1 谱分析原理 ..................................................................................................................................2.2 实验结果及分析 ..........................................................................................................................3. 利用 DFT 对周期序列进行谱分析 ......................................................................................
3.1 谱分析原理 .................................................................................................................................3.2 实验结果及分析 ..........................................................................................................................4. 利用 DFT 对连续时间非周期信号进行谱分析 .................................................................
4.1 谱分析原理 .................................................................................................................................4.2 实验结果及分析 ..........................................................................................................................5. 利用 DFS 对连续时间周期信号进行谱分析 .....................................................................
5.1 谱分析原理 .................................................................................................................................5.2 实验结果及分析 ..........................................................................................................................6. 利用 DFT 进行谱分析的误差问题及其参数选择 ...............................................................
6.1 谱分析的误差分析 .......................................................................................................................6.2 谱分析的近似性问题 ...................................................................................................................6.3 谱分析的参数选择 .......................................................................................................................7. 利用 DFT 进行谱分析的误差仿真 ........................................................................................
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2
2 2
3
3 3
44 5
55 6
77 8
8
9
7.1 混叠效应仿真 ......................................................................................................................................................................................................................... 9 7.2 栅栏效应仿真 ..................................................................................................................................................................................................................... 10 7.3 频谱泄露效应仿真 .......................................................................................................................................................................................................... 11
8. 结束语 ................................................................................................................................................................................................................................... 15 参考文献 ................................................................................................................................................................................................................................... 15
致谢 ................................................................................................................................................................................................................................................ 17
1 引言
随着信息时代和数字世界的到来， 数字信号处理己成为当今一门极其重要的学科和
技术领域，数字信号处理在通信、语音、图像、自动控制、医疗和家用电器等众多领域
得到了广泛的应用。 任意一个信号都具有时域与频域特性， 信号的频谱完全代表了信号，
因而研究信号的频谱就等于研究信号本身。通常从频域角度对信号进行分析与处理，容
易对信号的特性获得深入的了解。因此，信号的频谱分析是数字信号处理技术中的一种较为重要的工具。 [1]
众所周知，傅里叶变换和 Z 变换是信号处理中常用的重要数学变换。
对于有限长序
列，还有一种更加重要的数学变换即离散傅里叶变换（ Discrete Fourier Transform ， DFT ）。DFT [2]之所以重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，
从而实现了频域离散化，使得数字处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大
大加大了数字信号处理的灵活性。
信号的频谱分析的实质，就是通过信号的傅立叶变换
(FT) 来分析信号的频谱结构，
信号的 FT 可以借助于 DFT 用计算机仿真方法实现。一般地，信号按时间是否连续可分为连续时间信号和离散时间信号，按周期性可分为周期信号和非周期信号，在时域内
信号可分为 4 大类：离散非周期信号 (有限长序列 )、离散周期信号 (周期序列 )、连续非周期信号 (一般模拟信号 )、连续周期信号。
1
2 利用 DFT 对有限长序列进行谱分析
2.1 分析原理
假 x(n) 度
L 的有限 序列，其
FT 和 N 点 DFT 分
L 1
X (e j )
N 1
j
x( n)e j n
n 0 2 kn N
(1)
X (k )
x(n)e
n 0
（ k=0，1?，-1 ）
(2)
比式 (1) ，(2)可得， X (k) = X (e j ) |
2
N k
，即 X (k) 是在区 [0，2
]上 X (e j ) 的
N 点等 隔采 。因此序列的 FT 可以通 DFT 近似得到。 于有限 序列，可知其 FT 是周期 2 的 ，其 DFT 是在区 [0， 2 ] 上 其 FT 行 N 点等 隔采 得到的离散 。因此 于不同的 度 N，同一个序列的 DFT 也不同。随着 N 的增大，
其 DFT 的包 越来越接近 FT ， 其 分析也越精确。需要注意的是在 参数 ， 足 N≥L.2.2 果及分析
R4 (n) 度 8，前 4 个 位 1的有限 序列， 序列
DFT 的
[1]
R4 (n) 行 分析， 制出
其幅 特性曲 。其 分析可以通 直接 算其
N点 DFT 来近似。使用 matlab 仿真 [3] 的
程序和 果如下。
1(a) 和(b)分 R (n) 的 8点和 64点 DFT ，是离散 。
（ a ） R4 (n) 的 8 点 DFT 频谱
（ b） R4 (n) 的 64 点 DFT 频谱
图 1 R4 (n) 的 DFT 频谱
由仿真 果可知，比
1（a）、(b)随着 DFT 点数 N 的增加，其包 越来越接近序
列的 FT，即由离散 。在 有限 序列 行 分析 ，通 适当 取
2
DFT 的 度，达到用 DFT 行 分析的目的，尤其需要注意的是第 散 的
FT 的 率
N
2
k(0 ≤k≤N - 1) 条离
k 。
3 利用 DFT 对周期序列进行谱分析
3.1 分析原理
~
xN ( n) 周期 N 的周期序列， 于周期序列的 分析可分 （ 1）截取其一个周期 的主 序列 xN (n) ， 主 序列 行
N 1
3 步 行：
N 点 DFT 得到其
j
2 kn
离散 xN ( k) ，即 DFT[ xN (n) ] = xN (k ) =
n 0
xn (n)e N
，k=0 ， 1， ?，N-1 。
（ 2）由周期序列的离散傅里叶 数 (DFS) 及其主 序列的 DFT 之 的 关系， 可得周期序列
~ X N (n)
DFS 的
~
xN ( n) 是 xN ( k) 以 N 周期 行周期延拓得到的，即
i
X N (k lN ) 。
（3） 比周期序列的 FT 和 DFS 之 的关系式 X (e
得
j
) =
2 N
k
~
kX N (k ) (
2 N
) ，
~ ~ j
) 。由于 X N (k) 是以 N 周期的离散 ，所以周期序列 周期序列 X N 的的 X (e
的 FT 是以 2 N 条 ，第 k 条 ( k 次 波分量 )位 周期的离散 ，每个周期有
2 ~ k ， FT 的幅度与离散傅立叶 数 于 X N (k) 成正比。
N
3.2 果及分析
（ a） X(n) 的周期序列
(b) X(n) 的 DFT 频谱
图 2 X(n) 周期序列及其 DFT 频谱
此次仿真中采用的周期序列 X(n) 是以 位 度
4 的序列以 16 周期 行延拓得
3 步 行：
到的， 2。 周期序列 X(n) 的 分析，分
3
（1）截取主值序列 X(n) ；
（2）由周期序列的 DFS 和主值序列的 DFT 之间的关系，可以得到周期序列的
~
DFS X 8 (k) 是 X(n) 以 16 为周期进行周期延拓得到的； （3）对比周期序列的 FT 和 DFS 之间的关系式 X (e
j
) =
2 N
k
~
kX N (k) (
2 N
k) ，可
得周期序列 x8
~
(k) 的频谱结构 (见图 2) 。需要注意的是 FT 频谱结构与 DFS 结构相同，不
同的是 FT 幅度谱的大小为 DFS 离散谱幅度的
2
，第 k 条谱线对应的频率
N
2
k 。
N
4 利用 DFT 对连续时间非周期信号进行谱分析
4.1 谱分析原理
DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，可用计算机直接计算，而连续信号的傅
立叶分析显然不便于直接用计算机进行计算。因此对连续信号的谱分析，可通过对连续
信号时域进行采样，应用 变换对为
DFT 进行近似谱分析 [1] 。连续时间非周期信号 xa (t ) 的傅立叶
j t
X a ( j ) xa (t )
xa (t )e
dt
(3)
X a ( j )e j t d (4) 1
2
为便于计算机处理， 需要在时域对 xa (t) 进行截断、采样处理， 同样在频域上也需要
对 xa ( j ) 离散化。具体过程如下：
(1) 在时域内对 xa (t) 进行采样、截断处理：首先将 xa (t) 以 T 为间隔进行采样得到采样序列 xa ( nT ) ，然后将采样序列截断成从 t=0 开始长度为 T0 的有限长序列，包含 N 个
采样值，则公式 (3) 变为
N 1
X a ( j ) T x(nT )e j mT
n 0
(5)
由于时域采样的采样周期为 T
，由时域采样定理，频域产生以S2 fs 2 / T 为
周期的周期延拓。 如果 xa (t ) 是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，
S
频谱周期为
2 / T ，取其中的一个周期的 FT，相应的式 (5)变为
xa (nT )
1 2
X a ( j )e j mt d 0
) 进行频域采样，取
S
(6)
(2) 在频域的一个周期
s 内对 X a ( j N 个样点，每个样点的
间隔为 0 ，即 s N 0 。则公式 (5) ，(6) 分别为
4
用DFT进行频谱分析及其误差问题研究报告.docx
