课时分层作业(十四)
(建议用时：60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
16925A．(5，0)，(－5，0) C．(0，12)，(0，－12)
2
2
2
x2y2
B．(12，0)，(－12，0) D．(13，0)，(－13，0)
B [∵a＝169，b＝25，∴c＝169－25＝144，
∴c＝12，又∵焦点在x轴上，∴焦点为(12，0)，(－12，0)．]
2．对于常数m，n，“mn＞0”是“方程mx＋ny＝1的曲线是椭圆”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件
2
2
2
2
B．必要不充分条件 D．即不充分也不必要条件
B [mn＞0，若m＝n则mx＋ny＝1不是椭圆． 若方程mx＋ny＝1是椭圆则“mn＞0一定成立．”]
3．过点(3，－2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的方程是( )
94A.C.
＋＝1 1510＋＝1 1015
2
2
x2y2
x2x2
y2y2
B.D.
2
＋＝1 225100＋＝1 100225
x2x2
y2y2
x2y2
A [椭圆＋＝1的焦点在x轴上，且c＝5.设所求的椭圆方程为2＋2＝1，将(3，
94aa－5
4xy2
－2)代入方程得2＋2＝1，解得a＝15，故所求椭圆方程为＋＝1.]
aa－51510
9
4．已知A(0，－1)，B(0，1)两点，△ABC的周长为6，则△ABC的顶点C的轨迹方程是( ) A.＋＝1(x≠±2)
43C.＋＝1(x≠0) 43
B [∵2c＝|AB|＝2，∴c＝1， ∴|CA|＋|CB|＝6－2＝4＝2a，
∴顶点C的轨迹是以A，B为焦点的椭圆(A，B，C不共线)． 因此，顶点C的轨迹方程＋＝1(y≠±2)．]
43
5．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2
94
2
2
x2y2
x2y2x2y2
B.＋＝1(y≠±2) 43D.＋＝1(y≠0) 43
y2x2y2x2
y2x2
x2y2
的面积等于( )
A．5 C．3
B．4 D.1
B [由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，1222
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由2＋4＝(25)可知，△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为
21
|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]
2
二、填空题
x2y2
6．椭圆＋＝1的焦距是2，则m的值是________．
m4
3或5 [当m＞4时，m－4＝1，∴m＝5. 当0＜m＜4时，4－m＝1，∴m＝3.]
7．若方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围是________．
6－kk－2(2，4)∪(4，6) [若方程＋＝1表示椭圆．
6－kk－26－k＞0??
则?k－2＞0， ??6－k≠k－2∴2＜k＜6且k≠4.]
sin A＋sin B58．在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(－4，0)，且＝，则△ABC的顶点Csin C4的轨迹方程为________．
|BC|＋|AC|5
＋＝1(y≠0) [由正弦定理，得＝，又|AB|＝8， 259|AB|4
1∴|BC|＋|AC|＝10.由椭圆定义可知，点C的轨迹是以点A，B为焦点的椭圆．又∵a＝×10
21
＝5，c＝×8＝4，
2
∴b＝a－c＝25－16＝9.又∵点A，B，C不共线， ∴点C的轨迹方程为＋＝1(y≠0)．]
259三、解答题
4525
9．已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过
33点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程．
2
2
2
y2x2
y2x2
x2y2
x2y2
4525[解] 设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，不妨取|PF1|＝，|PF2|＝，由椭圆的定义，33知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25.即a＝5.由|PF1|>|PF2|知，PF2垂直于长轴．
605102222222
在Rt△PF2F1中，4c＝|PF1|－|PF2|＝，∴c＝，∴b＝a－c＝.又所求的椭圆的焦
9333xy点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
510105
10．已知动圆M过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)＋y＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M的轨迹方程．
2
2
x23y2
22
[解] 设动圆M和定圆B内切于点C，由|MA|＝|MC|得|MA|＋|MB|＝|MC|＋|MB|＝|BC|＝8，即动圆圆心M到两定点A(－3，0)，B(3，0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，
且2a＝8，2c＝6，b＝a－c＝7， ∴M的轨迹方程是＋＝1.
167
[能力提升练]
2
2
x2y2
xy?π?1．设α∈?0，?，方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范
2?sin αcos α?
围为( )
22
?π?A.?0，?
4???π?C.?0，? 4??
π?π?∵α∈?0，?，∴0<α<.故选C.]
2?4?
B.?D.?
?π，π?
??42??π，π?
??42?
C [由题意知，cos α>sin α>0，∴tan α<1，
2．设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是( )
1612A．锐角三角形 C．钝角三角形
B [根据椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝8.
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
x2y2
2019-2020学年高中数学课时分层作业14椭圆及其标准方程
