2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题24立体几何中的综合问题
考点命题分析
1问题提出
立体几何是高中数学主干知识之一，在全国卷中，一般是选择题、填空题、解答题各一题，共计22分.考查的知识点包括:空间几何体的结构、直观图和三视图；空间几何体的表面积、侧面积、体积、棱长、点面距离和空间角的计算；与平面相关的四个公理和一个定理；与平行与垂直有关的八个定理.突出考查数学抽象、直观想象、逻辑推理、数学运算等数学素养.
全国卷对立体几何的考查，以“三个观点”统一组织材料，一是“定型”考查，通过三视图、直观图来识图，用图作为空间想象能力考查的开始；二是“定性”考查，以判定定理和性质定理为核心，证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，进行思维发散考查；三是“定量”考查，以空间角、表面积、体积和高的计算进行思维聚合考查.试题坚持以空间想象能力立意，选择题和填空题注重几何图形构图的想象和辨识，解答题以垂直(平行)论证为核心，展开角的计算(理科)、体积和高的计算(文科)，注重空间向量在处理空间角过程中的作用，体现几何问题代数化的思想(理科).高考对立体几何知识的考查，有将立体几何知识体系向其他知识体系过渡综合考查的趋势，与导数、不等式、三角函数等知识综合考查，同时注重对数学文化的渗透.立体几何知识是考查考生数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的重要载体.基于此，笔者从以下几个方面展开本专题的综合复习.
2通过识图、变图想图、构图、用图，培养空间想象能力 2.1以三视图为载体的问题
三视图是用平面图形来表征空间几何体的结构特征，凸显降维思想，即三维变二维，在现实世界中有着广泛的应用，如零件、建筑物的图纸，等等.因此，三视图是全国卷每年必考的内容.三视图所表征的几何体是什么，具有怎样的结构特征，如何作出所表示的几何体的直观图是难点.
例1如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )
A．
B．
C．6
D．4
2.2以图形折叠为载体的问题
折叠问题是立体几何中的常见问题，在折叠过程中，哪些要素保持不变，以及折叠到终止状态时所形成的几何体结构特征，是解决折叠问题的关键要素.
例2如图所示，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边△ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为
.
3通过思辨论证训练，培养学生的逻辑推理能力
立体几何内容是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的重要载体.通过对直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的证明，着力培养学生逻辑推理能力.通过寻找位置关系成立的要素，往往通过分析方法，即要证明什么，只要证明什么，是一个复杂过程，但只要脉络清晰，执果索因，渐行渐近，逐步完成，就能顺利解答. 例3如图所示，四棱锥BF.
中，底面ABCD是菱形，
，PA=PD，F为AD的中点，PD⊥
(I)求证:AD⊥PB； (Ⅱ)若E在线段BC上，且的结论.
4通过向量应用，解决空间角的计算问题，培养学生的数学运算能力
空间向量是用代数方法解决空间几何问题的重要方法，也有利于培养学生的数形结合思想，降低思维难度，提高解题效率，有效地实现了几何问题的代数化，这也是高等几何中的重要方法.
例4如图，已知多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CD的中点.
，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD?并证明你
(I)求证:AF⊥平面CDE； (Ⅱ)求二面角CAB－E的大小. 5复习建议
(1)通过对近几年高考试题的分析，辨明立体几何知识考查方向.利用问题梳理知识，在问题解答过程中，熟悉解题方法.通过典例分析，练习训练，激发学生回忆，提取知识，激活沉睡在脑海中知识块，使知识板块之间相互运动、摩擦，达到相互融合，将立体几何知识与函数、不等式、三角等知识联系起来，形成知识网络.
(2)学习之道在于练、在于悟.对本专题全面系统地复习后，趁热打铁，让学生自己画出立体几何专题的思维导图.改变惯用的先梳理知识点，再例题讲解、练习巩固的复习模式.让学生在做中悟，悟出自己的问题和不足，悟出解决立体几何问题的思路和方法.激发学生自主复习的积极性和创造性，并体会成功的愉
悦，提高课堂复习效率.
(3)不断刺激，避免遗忘.采取“保温”复习法，也就是在进行其他模块复习时，对已经复习的知识，相隔一段时间，教师应定期给予适量习题进行巩固训练，减少遗忘.
(4)数学课堂的教学过程，实际上就是解决问题的过程.教师通过设计恰当的问题链，激发学生思维，刺激学生回顾联想，提出解决问题的思路和方法，让学生在经历问题解决的过程中，感悟数学思想方法，提升数学素养.
最新模拟题强化
1．如图，四棱锥P?ABCD的底面是边长为2的正方形，PA?平面ABCD，且PA?4，M是PB上的一个动点，过点M作平面?//平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面?与平面PAD之间的距离为x，则函数y?f(x)的图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个结论：
①三棱锥A?D1PC的体积不变；
②A1P//平面ACD1；
③DP?BC1；
④平面PDB1?平面ACD1．
其中正确的结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，正方体ABCD?A1B1C1D1中，E为AB中点，F在线段DD1上.给出下列判断：①存在点F使
?平面B1EF；②在平面A1B1C1D1内总存在与平面B1EF平行的直线；③平面B1EF与平面ABC得AC1D所成的二面角（锐角）的大小与点F的位置无关；④三棱锥B?B1EF的体积与点F的位置无关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4．在棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点M是对角线AC1上的点（点M与A、C1不重合），则下列结论正确的个数为（ ）
①存在点M，使得平面A1DM?平面BC1D；
高考数学二轮复习 专题24立体几何中的综合问题（原卷版）
