石室中学高2020届一诊模拟考试
文科参考答案
1.已知集合A??x?N|x?1?，B??x|x?5?，则AIB?
（A）?x|1?x?5?（B）?x|x?1?（C）?2,3,4?（D）?1,2,3,4,5? 答案：C 【解析】：AIB??x?N|1?X?5???2,3,4?
故选C
2.设i为虚数单位，若复数z满足iz?1?i，则z的共轭．．复数为 （A）1?i（B）?1?i（C）?1?i（D）1?i 答案：D
【解析】：Qz?1?ii?i?1?1?1?i?z?1?i
故选D
3.若等边?ABC的边长为
4，则uuABur?uuuACr?
（A）8（B）?8（C）83（D）?83 答案：A
【解析】：Q?BAC?600?ABuuurgACuuur?uABuuruACuurcos600?4?4?12?8
故选A
4.由数字0,1,2,3组成的无重复数字的4位数中，比2019大的数的个数为（A） 10 （B） 11 （C） 12 （D） 13 答案：B
【解析】：当首位为3时，都满足，一共6个；当首位为2，百位为1或3时，都满足，此时4个；当首位为2，百位为0时，只有2031.综上共11个 故选B
5.若等比数列?an?满足：a1?1,a5?4a3,a1?a2?a3?7，则该数列的公比为 （A）?2（B）2（C）?2（D）12
答案：B
【解析】：a5?q2a3?4a3?q??2 当q?2时，a21?a2?a3?1?q?q?7成立； 当q??2时，a1?a2?a3?1?q?q2?3不成立； 故选B
6.若实数a,b满足a?b，则
（A）ea?eb（B）sina?sinb（C）ea?11ea?eb?eb（D）ln(1?a2?a)?ln(1?b2?b)
答案：C
【解析】：Qe?2?e1?A错误；sin(??)?sin?26?B错误；f(x)?ex?1ex为偶函数，
且当x?(0,??)时，单调递增，故C正确 故选C
7.在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?4,AB?2，点E,F分别为棱BB1,CC1上两点，且BE?14BB1,CF?12CC1，则
（A）D1E?AF，且直线D1E,AF异面（B）D1E?AF，且直线D1E,AF相交 （C）D1E?AF，且直线D1E,AF异面（D）D1E?AF，且直线D1E,AF相交 答案：A
【解析】：QD1E?D21B1?B1E2?17,AF?AC2?CF2?12?D1E，
取点M为的中点，AD1//MF故
AEFD1共面，点E在面AEFD1面外，故直线D1E,AF异面
故选A
8.设函数f?x??12x2?9alnx，若f?x?在点(3,f(3))的切线与x轴平行，且在区间?m?1,m?1?上单调递减，则实数m的取值范围是 （A）m?2（B）m?4（C）1?m?2（D）0?m?3
答案：C
【解析】f'(x)?x?9ax,f'(3)?0,?a?1，因为x?0，所以当0?x?3时，f'(x)?0，
即f(x)在(0,3]上递减，所以??0?m?1m?1?3，1?m?2?．故选C．
9.已知sin2??1，则cos2(???34)? （A）?13（B）1223（C）?3（D）3
答案：B
【解析】：1?cos(2α?π)cos2(α?π24)?2?1?sin2α2?13，故选B 10.函数f(x)?1ex?1?x的图象大致为
（A）（B）（C）（D）
答案：D
【解析】：ex?x?1?ex?1?x?ex?1?x?0?f(x)?0，故选D
11.设圆C：x2?y2?2x?3?0，若等边?PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为
（A）10（B）23（C）4（D）26 答案：C
【解析】：连接AC，BC，设?CAB??，连接PC与AB交于点D，∵AC?BC，△PAB是等边三角形，∴D是AB的中点，∴PC?AB，∴在圆C：(x?1)2?(y?2)2?4中，圆C的半径为2，
|AB|?4cos?，|CD|?2sin?，∴在等边△PAB中，|PD|?32|AB|?23cos?，
∴|PC|?|CD|?|PD|?2sin??23cos??4sin?????π?3??≤4,故选
C
12.设函数f(x)?cos2x?sinx，下述四个结论：
○
1f(x)是偶函数；○2f(x)的最小正周期为?； ○
3f(x)的最小值为0；○4f(x)在[0,2?]上有3个零点. 其中所有正确结论的编号是
（A）○
1○2（B）○1○2○3（C）○1○3○4（D）○2○3○4 答案：B
【解析】：f(?x)?cos(|?2x|)?|sin(?x)|?f(x)故○1正确； f(x?π)?cos(|2x?π|)?|sin(x?π)|?f(x)故○
2正确； f(x)?1?2sin2x?|sinx|??2(|sinx|?134)?4
又0?|sinx|?1，∴当|sinx|?1时，ymin?0，故选B 13.若等差数列?an?满足：a1?1,a2?a3?5，则an?． 答案：n
【解析】：a1?1,a2?a3?1?d?1?2d?5?d?1?an?n
14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为． 答案：0.4
【解析】：不买猪肉的30人，不买肉的10人，故买了猪肉的70人，猪肉
和其它肉都买的30人，故只有买猪肉的40人，所以答案为0.4
15.已知双曲线C:x2?y23?1的左，右焦点分别为F1,F2，过F1的直线l分别与两
条渐进线交于uuuruuuruuuruuurA,B两点，若F1B?F2B?0,F1A??AB，则??．
答案：1
【解析】：QO为F1F2的中点，
BO?c?OF2，?BOF2?600，??BF2O为等边三角形，故?BF2O?600所以F2B//OA?A为F1B的中点，即??1 16.若函数
f?x????ex?a?x?1?????x?2a??x?a2??x≥1恰有2个零点，则实数a的取值范围
是
．
答案：[12,1){2}[e,??)
【解析】：当a?0时,不满足题意.
当0?a?2时,要使函数函数f?x?恰有2个零点,即??e?a?01?a2?1?2a?2?a?1.
当a?2时,满足题意.
当a?2时,a2?2a?4, 要使函数函数f?x?恰有2个零点,即e?a?0.所以
a?e.
综上所述：实数a的取值范围是[12,1){2}[e,??).
17.（12分）某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的
顾客，按200元/次收费, 并注册成为会员, 对会员逐次消费给予相应优
惠，标准如下：
消费次第1次 第 收费比1 0.95 0.90 0.85 0.80 （1）解：Q第2次 第3次 第4次 ?5次 3Bsin(A?C)?cos2且sin(A?C)?sinB 2233BBBB?BBB?sinB?g2sincos?cos2又Q0???sin?0?3sin?cos 2222222222B3B??tan???232632?B??3率 该公司现有的注册会员中没有消费超过5次的，从注册的会员中, 随机抽取了100位进行统计, 得到统计数据如下: 消费次1次 2次 3次 ?sinB?… … … … … ……………………………… ...6分
（2）由题意知：b?8?(a?c)
a2?c2?b2?64?16(a?c)?2ac1?cosB???
2ac2ac2?3ac??64?16(a?c)??64?32ac?3ac?32ac?64?0?(3ac?8)(ac?8)?0
4次 5次 ?ac?数 人数 60 20 10 5 5 13163864或ac?8（舍）（当a?c时取\?\） ?S?ABC?acsinB?ac??ac?24939综
(0,上，
?ABC的面分
积的取值范围为
假设汽车美容一次, 公司成本为150元, 根据所给数据, 解答下列问题: （Ⅰ）某会员仅消费两次, 求这两次消费中, 公司获得的平均利润； （Ⅱ）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率, 设该公司为一位会员服务的平均利润为X元, 求X大于40的概率.
X163]… … ……………… … … ...12919.（12分）如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且?ADC?600，AA1?CD1?5，AD1?7．
（Ⅰ）证明：平面CDD1?平面ABCD；
为
（Ⅱ）求棱锥D1?AAC11C的体积． 19.（1）令CD的中点为O，连接OA,OD1,AC
QAA1?CD1?5,DC?2?D1O?DC且D1O?DD12?DO2?2
的期望
EX?50?0.6?45?0.2?40?0.1?35?0.05?30?0.05?46.25（元）… … ...12分
18.（12分）?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设
32Bsin(A?C)?cos．
22又Q底面ABCD为边长为2的菱形，且?ADC?600?AO?又QAD1?7?AD12?D1O2?AO2?D1O?OA
3 （Ⅰ）求sinB；（Ⅱ）若?ABC的周长为8，求?ABC的面积的取值范围.
又QOA,DC?ABCD,OA?DC?O?D1O?ABCD
又QD1O?CDD1?CDD1?ABCD… … … … … … ...6分
（2）QD1D//A1A?D1D//AAC11C?VD1?AA1C1C?VD?AA1C1C 又QYAA1C1C?V?2?11343D1?AA1C1C?VD?AA1C1C?2VD?AA1C?2VA1?ADC3?2?2?2?2?2?3… …… … ...12分
20.（12分）设椭圆x2y2C:8?2?1，过点A(2，1)的直线AP,AQ分别交C于相异
的两点P,Q，直线PQ恒过点B(4,0)． （Ⅰ）证明：直线AP,AQ的斜率之和为?1；
（Ⅱ）设直线AP,AQ分别与x轴交于M,N两点,点G(3,0),求GM?GN.
20.解：（Ⅰ）设P?x1,y1?,Q?x2,y2?,M?x3,0?,N?x4,0?，直线PQ、AP、AQ的
斜
率
分
别
为
k,k1,k2，由
???y?k?x?4???x2?4y2?8得
?1?4k2?x2?32k2x?64k2?8?0… … … ...2分
??0，可得：k2?14，xx32k21?2?1?4k2，x64k2?81x2?1?4k2， ky1?1y2?1k?x1?4??1k?x2?4??11?k2?x???1?2x2?2x1?2x2?2?2kx1x2??6k?1??x1?x2??16k?4x?2?x… …… …… … … … … … … ……………
1x21?x2??4...4分
k?64k2?8??1?4k2?6k?1??32k221?4k2?16k?4?16k2?464k2?8???1… … … … … … … ...6
1?4k2?2?32k216k2?41?4k2?4分 （Ⅱ）由y?1?k11?x?2?，令y?0，得x3?2?k，即M??2?1,0?? 1?k1?同理x14?2?k，即N???2?1,0??，设x轴上存在定点G(x?0,0)则 2k2GM?GN?3????2?1?k??3???1?111?2?k??1???
1?2?k1k2k1k2?1?k1?k21kk?12k1k2??1??1k?1?1… …… …… ….… …… … … … … …12分 1k2k1k2
21.（12分）设函数
f(x)?2??x?sinx，x?[0,2]，g(x)?x2m???cosx?2(x?2)2,(m?R)．
（Ⅰ）求f(x)的最大值；
（Ⅱ）当0?x??2,m?0时，求证：g(x)??4.
21.解：（Ⅰ）f'(x)?2??cosx在x?[0,?2]上单调递增,f'(x)?[22??1,?], 所以存在唯一x?0?(0,2),f'(x0)?0.
当x?(0,x0),f'(x)?0,f(x)递减；
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