第十一讲 极端原理
考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。
运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。
A类例题 例1在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )
(A) ??n?2??n?1??,?? (B) ??,?? ?n??n?(C) ?0,?????n?2n?1??,??(1994 年全国高中联赛题) (D) ??2?n?n?分析 利用图形的极端位置解题。
解 当正n棱锥的顶点S向下无限趋近底面正n边形中心时, 所求值趋于π；当S向上运动, 趋向无穷远时, 正n棱锥趋于正n棱柱,所求值趋于正n边形的一个内角(即
n?2?),故选A. n例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999
分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。
分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况。
解 无三人得分相同的最低分值为：2×(0+1+…99)+100=10000。 无三人得分相同的最高分值为：2×(1+2+…100)+ 0=10100。
即无三人得分相同时的得分取值情况为10000，10001，…，10100。所以（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。 说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，…，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，…，100分各2人，得0分1人。
情景再现
1．已知长方形的4 个顶点A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和D(0 , 1),一质点从AB 的中点P0
沿与AB夹角为θ的方向入射到BC上的点P1后依次反射到CD 、DA和AB上的点是P2、P3和P4 (入射角等于反射角). 设P4的坐标为(x4 ,0),若1 (A) ?,1?(B) ?,?1??3??12?? ?33?(C) ??21?,?(D) 5?2??22??,? ?53?(2003年全国高考题) 2．已知A(2 , 3) ,B ( -3 , -2), 若直线l过点P(1 , 1), 且与线段AB相交, 则直线l的斜率k的取值范围为( ) 33. (B) ≤k≤2. 443(C) k≥2 或k≤ (D) k≤2. 4(A) k≥ B类例题 例3已知对任意正自然数n,不等式nlga< (n +1) lgaa ( a >0)恒成立, 求实数a的取值范 围. 分析 用分离变量的方法处理恒成立的问题，即a>f(x)对任意x恒成立等价于a>max｛f(x)｝. 解 当lg a >0 ,即a >1 时, 则不等式a?限增大时,n 无限接近于1 ,且 n对任意正自然数n 恒成立, 因为当n 无n?1n<1 , 所以a >1 ; n?1nn当lg a <0 ,即0< a <1 时,要使a?对任意正自然数n 恒成立,因为的最小值为 n?1n?1111，所以a < ,即0< a < . 2221故所求实数a 的取值范围是0< a <或a >1. 2nn说明 本题考虑了取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数f(n)= 单 n?1n?1调递增的性质。 例4已知二次函数y = ax2+ bx + c( a >0) 的图象经过M( 1-, 0),N ( 1+ , 0) , P (0 , k) 三点, 若∠MPN是钝角, 求a的取值范围. 分析 若利用余弦定理, 并由-1 解 当∠M PN 为直角时, 则点P 在以MN 为直径的圆周⊙O1上, 于是P是该圆与y轴的交点, 如图, 由勾股定理不难得k =±1 , ∴当∠M PN为钝角时, 点P在⊙O1内, 由a >0 知: 点P 应在y 轴的负半轴上. 把P (0 , k) 的坐标代入y = a( x -1+ 此,0< a <1. )( x -1 -) 得a =-k, 因 说明 根据平面几何的知识∠MPN是钝角意味着P点在以MN为直径的圆内。 例5黑板上写着从1开始的n个连续正整数,擦去其中一个数后,其余各数的平均值是735,求擦去的数. 17分析 此题的常规方法是转变为列出并处理一个不定方程的问题, 但运算复杂,而从其极端情形考虑, 很快获解, 运算简洁、解法扼要. 解 考虑擦去数的极端情形, 显然擦去1 与n 是其极端情形,若擦去的数是1 , 则得平 n(n?1)n(n?1)?1?nn?2n22均值为；若擦去的数是n, 则平均值为??,根据极端状态下 n?12n?12n7n?2的平均值与已知平均值的联系,显然有≤35≤, 从而69≤n≤70 ,即68≤n -1 ≤ 217269. 7, 所以n -1 是17 的倍数,故n -1=68 ,即n = 69. 最171?2?L?69?x7后,设擦去的数为x, 则?35. 6817而n -1 个整数的平均数是35∴x =7 ,即擦去的数是7. 说明 本题用到等差数列前n项的和 1+2+3+…+n= n(n?1)。 2例6若干只箱子的总重量为10吨，每一只箱子重量不超过1吨，问为了把这些箱子用 载重3吨的卡车运走。 （1）证明：有一个办法至多分5次就可以把这此批货物全部运完； （2）至少需要多少次一定可以把货物全部运完。 分析 把这此批货物全部运完需构造装货最多的极端情形，4次不一定能运完需构造“最不利”的极端情形。 解（1）先往车上尽量装货，一直装到不超过3吨，但再加上一箱便超过3吨为止，照此办理5次至少运输5×2＝10吨，得证； ?x?3（2）可知3次至多运输3×3＝9吨，考察4次的情况，设每次装x吨，则由?， 10?3x?3?得x?72.32.3。取x?2.3，每箱重吨，即12只箱子吨，一只箱子重0.8吨，则4次不一333定能运完。而由（1）5次一定可以把这此批货物全部运完，所以至少5次一定可以把货物全部运完。 说明 请注意“最不利”的极端情形的构造方式，当然方式不唯一。 情景再现 3．已知函数f( x)=m的最大值是( ) 12 (x +1).若存在t∈R,只要x∈[ 1 , m](m >1),就有f(x+t)≤x, 则4(A)8. (B) 9. (C)10. (D)11. 4．现有20 张扑克牌,分别是4 张10 , 4 张9 ,4 张8 ,4 张7 ,4 张6. 为了确保摸出4 对同数字扑克牌,则至少要摸出多少张? C类例题 例7 给定平面上不全在一直线上的有限个点，试证：必有一条直线只经过其中的两点． 分析 该命题是英国著名数学家西勒维斯特（Sylvester，1814-1897）提出的，故称之为西勒维斯特问题．这个问题也可以叙述为： 设?是平面上的有限点集，若过?中任意两点的直线上还存在有?的点，则集合?中的所有点共线． 西勒维斯特问题初看起来结论似乎比较“显然”，应该不难证明．但实际上这个问题提出近50年的时间内无人解决． 解 设所有的点（有限）构成集合?，点P??，集合?表示由至少过A中两点的全体直线构成的集合，l??．d?P,l?表示点P到直线l的正距离（l不通过点P），?表示所有 d?P,l?的集合． 因为?中的点不全在一直线上，所以?非空，又?是有限集，所以?也是有限集，于是 ?中有一个最小元素，设为d?P0,m?．下面证明：直线m只经过?中的两点． 假定m经过?中的至少三个点，例如经过P1，P2，P3．设P0点在直线m上的垂足为Q，那么Q点的一侧必有两个点（其中一个点可能和Q重合），设为P2，P3，且QP3?QP2．另直线n为经过P0、P3的直线，显然d?P2,n??d?P0,m?．这与d?P0,m?的最小性矛盾，从而 m只能经过两个点． 说明 与西勒维斯特问题相应，有一个对偶的命题：在平面上给定n条两两互不平行的直线，若对于它们中任何2条直线的交点，都有这n条直线中的另一条过这点．则这n条直线共点． 例8设有2n×2n的正方形方格棋盘，在其中任意的3n个方格中各放一个棋子，求证： 可以选出n行n列，使得3n枚棋子都在这n行n列中。 分析 考虑尽可能选取棋子数目较多的n行。 解 在各行棋子中，一定有一行棋子最多，设有p1枚棋子。 从剩下的2n?1行中找一行棋子最多的，设有p2枚，…，找n行，共有p1?p2???pn枚棋子，则所选n行至少有2n枚棋子。否则，若p1?p2???pn≤2n?1，则pn?1?pn?2???p2n≥n?1。∴p1， p2，…，pn中必有一个不大于1，pn?1，pn?2，…，p2n中必有一个大于1，与p1≥p2≥… ≥p2n矛盾。∴剩下的n枚棋子从n列中选即可。 说明 本题是极端原理在操作策略上解题的一个应用。 情景再现 5．已知：在△ABC中，∠A＞90°，AD是BC边上的高，求证：AB＋AC＜AD＋BC。 6．已知有10张圆纸片，它们盖住的平面图形的面积为1。证明：可以从中选出若干张互不重叠的圆纸片，使得它们的面积之和不小于 1。 9习题 A 1．把16个互不相等的数排成下表： a11a12a13a14 a21a22a23a24 a31a32a33a34 a41a42a43a44 先取出每一行最大的数，共得4个数，设其中最小的数为x，再取出每一列中最小的数，也得到4个数，设其中最大的数为y，那么x，y的大小关系是 ( ) A. x＝y B. x＜y C. x≥y D. x≤y。 2．已知n是自然数，且n≥2，那么方程x1?x2???xn?x1x2?xn，在正整数范围内的解 （ ） A. 不存在 B. 有且仅有一组 C. 至少有一组 D. 至少有2n组 3．设有n（n≥2）名选手进行乒乓球比赛，任两名选手都进行一场比赛，每场比赛均决出胜负，求证：存在选手A，使得其他的任一选手，或是输给A，或是输给被A打败的某一名选手。 4．25个人组成若干个委员会，每个委员会都有5名成员，每两个委员会至多有一名公共成员。证明：委员会的个数不超过30。 5．平面上有4个点，其中任意三个点作成的三角形面积都小于1，试证明：存在一个面积小于4的三角形包含这4个点。 6．两圆外切于点P，过P点作两条互相垂直的割线APC，和BPD，设两圆的直径为m，n。求证：AC2+BD2为定值。 B
江苏省数学竞赛《提优教程》教案第11讲极端原理
