经济数学基础——微积分 第一章 极限与连续
第一章 极限与连续
函数、极限、连续是《微积分》中最重要的基本概念 函数是《微积分》的主要研究对象。
极限方法是《微积分》研究变量的最基本方法。 连续是函数的主要特性之一。 一、本章基本要求 第一节 函数
1.弄清常量、变量的概念及表示法；理解函数的概念及表示法。 2.会求已知函数在某一点的函数值。会求函数的定义域。
3.理解分段函数的概念。会求分段函数在某一点的值及分段函数的定义域。会做简单函数的图像。
4.了解反函数的概念。弄清反函数与直接函数的关系。会求已知函数的反函数。 5.了解函数的主要性质。如：奇偶性、有界性、周期性、单调性。会判断已知函数的奇偶性、有界性等。并熟悉其图形特征。
6.理解基本初等函数的概念。掌握六类基本初等函数的表示、定义域、值域、图象、性质。《微积分》所研究的函数均是以这六类基本初等函数为基本的。
7.理解复合函数、初等函数、简单函数的概念。熟练地掌握把一个复合函数分解成基本初等函数或由基本初等函数经四则运算后得到的函数。分解得到的函数不能多也不能少。会根据几个中间变量写出复合函数。会判断一个函数是不是初等函数。 第二节 数列的极限
1.了解数列及数列极限、收敛、发散、有界的概念。 2.弄清有极限、有界、收敛三者的关系。 3.会根据数列的通项判断数列的敛散性。 第三节 函数的极限
??1.了解x??,x???,x???,x?x0,x?x0,x?x0各表示什么。
2.了解x??及x?x0时，函数的极限及表示法。会根据已知函数的图形观察其极限是否存在。
limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A
x??x???x???3.了解左极限与右极限的概念及表示法。会根据函数在某一点处极限存在的充要条
f(x)?limf(x)?A来判断分段函数在分段点处的极限是件limf(x)?A?lim??x?x0x?x0x?x0否存在。
第四节 无穷小量与无穷大量
1.了解无穷小量、无穷大量的概念；无穷小量与无穷大量的关系。
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2.弄清函数极限与无穷小量的关系。
limf(x)?A?f（x）?A?? （lim??0）
3.熟记无穷小量的四个性质。并由其性质求函数极限。 4.了解无穷小量阶的概念。会比较两个无穷小量的阶。 第五节 极限的性质与运算法则
1.记住极限的三个性质。极限的四则运算法则及二个推论。注意极限四则运算法则成立的前提条件。
2.熟练掌握利用四则运算法则求函数的极限的方法。记住几个特殊函数的求极限方法。
（1） 当f(x)为多项式函数时，limf(x)?f(x0)
x?x0（2） 当p(x)?a0xn?a1xn?1?a2xn?2???an
q(x)?b0xm?b1xm?1?b2xm?2???bm时
1.
p(x0) 当q(x0)?0 ，q(x0)2．? ， 当q(x0)?0但p(x0)?0时
x?x0limp(x)? 3．当q(x0)?0，p(x0)?0时 q(x)（1）分子和分母分解出无穷小量（x?x0），约去后求极限 （2）若分子或分母中含有根式时，先有理化，后用（1）法 （3）洛比达法则（第三章将要介绍）
a0, 当m=n时 b0limx??p(x)? ? ,当m
（3）对???型 ，是分式的，先通分，后求极限。是根式的，先有理化，后求极限。 第六节 两个重要极限
1.知道极限存在的两个准则，熟记两个重要极限的形式。
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重要极限Ⅰ： limsinxx?1 或lim?1
x?0x?0xsinx11x重要极限Ⅱ：lim(1?)?e或lim(1?x)x?e
x??x?0x2.熟练掌握用两个重要极限求函数的极限。 记住：（1）重要极限Ⅰ：limsin????0????1 或
???1的形式。
???0sin??lim使用的三个条件：①是由三角函数和幂函数或三角函数与三角函数构成的分
式形式。
②分子与分母均为无穷小量。
③将函数化为重要极限Ⅰ的形式，对应??内的变
量要相同。
1（2）重要极限Ⅱ：lim(1?)x?e或lim(1?x)x?e的形式。
x?0x??x 使用的三条件：①是幂指函数。
②底为（1+无穷小量），指数为无穷大量。 ③括号内的无穷小量与指数互为倒数。
推广：u（x）是x的连续函数，则：
11)u（x）?e lim(1?)u（x）?e或lim(1?u（x）u（x）?0u（x）??u（x）且有：
1lim（1?x???x?）?x?b?e 或 lim（1??x）xx?0???b?e??
（3）了解重要极限Ⅱ在复利计算中的应用。
第七节 函数的连续性 1.理解函数在x0点的连续性的概念及两个表示形式。
?f（x0）①lim?y?0 ②limf（x）
?x?0x?x02.弄清左连续、右连续的概念。并会用来判断分段函数在分段点处的连续性。
f（x）?f（x0）在x0点左连续：则lim ?x?x0- 3 -
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