信号与系统答案 西北工业大学 段哲民 第七章(完整资料).doc

1?E?2E2?1H(E)???5?11?25121?E?EE?E?6666E21??1111(E?)(E?)(E?)(E?)2323???????EE?1?E??E??11?11??(E?)(E?)??(E?)(E?)?23?23????????32?32??1?E???E???11?11??E??E?E??E??23?23??????3EE2?3?2?E?1??1111??E?E?E?E??2323??

故得

1?1?1?1?h(k)??3()k?2()k?U(k)??3()k?2?2()k?2?U(k?2)3?3?2?2?

7.10 已知差分方程

y(k?2)?5y(k?1)?6y(k)?U(k)

系统的初始条件

yx(0)?1,yx(1)?5

求全响应y(k)。 答案

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解答：（1）求零输入响应yx(k)

E2?5E?6?0

得特征根为

p1?2,p2?3

故

yx(k)?A1(2)k?A2(3)k

yx(0)?A1?A2?1

yx(1)?2A1?3A2?5

联解得

A1??2,A2?3

故

yx(k)?[?2(2)k?3(3)k]U(k)?[?(2)k?1?(3)k?1]U(k)

（2）求h(k)

1?11??E2?5E?6E?2E?3

H(E)?故得

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h(k)??(2k?1?3k?1)U(k?1)

（3）求零状态响应yf(k)

yf(k)?h(k)?f(k)?[?2k?1U(k?1)?3k?1U(k?1)]?U(k)??2k?1U(k?1)?U(k)?3k?1U(k?1)?U(k)

查卷积和表得

11yf(k)?[?(2)k?(3)k]U(k)22

全响应为

7?1?y(k)?yx(k)?yf(k)???3(2)k?(3)k?U(k)2?2?

7.11 某人每年初在银行存款一次，第1年存款1万元，以后每年初将上年所得利息和本金以及新增1万元存入当年，年利息为5%。(1)列此存款的差分方程；(2)求第10年底在银行存款的总数。 答案

解答：（1）设第k年初银行存款总额为y(k)，则差分方程为

5?U(k) 100y(k?1)?y(k)?y(k)?式中y(k?1)为k?1年初存款的总数，U(k)为第k?1年初新增存款1万元。整理之得

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y(k?1)?1.05y(k)?U(k)

由于y(0)?0，故只存在零状态响应。传输算子为

1E?1.05

H(E)?故

k(k)?(1.05)k?1U(k?1)

故

y(k)?U(k)?h(k)?U(k)?(1.05)k?1U(K?1)?1?(1.05)Ku(K?1)?20[(1.05)K?1]u(K?1)1?1.05

当k=10时有

y(10)?20[(1.05)10?1]?1?12.5779万元

故第10年底银行的存款总数为

5??y(10)??1??13.2068?100??万元

7.12 已知差分方程为

y(k)?3y(k?1)?2y(k?2)?f(k)

激励

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f(k)?2kU(k)

初始值

y(0)?0,y(1)?2

试用零输入-零状态法求全响应y(k)。 答案

解答：（1）求零输入响应yx(k)。

系统的特征方程为

E2?3E?2?0

得特征根为

p1??1,p2??2

故得零输入响应yx(k)的通解为

yx(k)?A1(?1)k?A2(?2)k

待定系数A1,A2必须根据系统的初始状态来求，而不能根据全响应的初始值y(0)?0,y(1)?2来求。又因为激励f(k)是在k?0时刻作用于系统的，故初始状态应为y(?1),y(?2)。下面求y(?1),y(?2)。

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