圆梦教育中心 圆与方程知识点总结
1. 圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是(x?a)2?(y?b)2?r2. 特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2?y2?r2.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r： a.点在圆内
d＜r； b.点在圆上
d=r； c.点在圆外
d＞r
(2). 给定点M(x0,y0)及圆C:(x?a)2?(y?b)2?r2. ①M在圆C内?(x0?a)2?(y0?b)2?r2
（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圆C上?③M在圆C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 （3）涉及最值：
① 圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值
PBmin?BN?BC?r PBmax?BM?BC?r
② 圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值
PAmin?AN?r?AC PAmax?AM?r?AC
思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）
3. 圆的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0 .
?DE?(1) 当D?E?4F?0时，方程表示一个圆，其中圆心C??,??，半径r?2??222D2?E2?4F.
2(2) 当D2?E2?4F?0时，方程表示一个点???DE?,??. 2??2(3) 当D2?E2?4F?0时，方程不表示任何图形.
注：方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圆的充要条件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.
4. 直线与圆的位置关系：
直线Ax?By?C?0与圆(x?a)2?(y?b)2?r2 圆心到直线的距离d?Aa?Bb?CA?B22
1）d?r?直线与圆相离?无交点； 2）d?r?直线与圆相切?只有一个交点；
3）d?r?直线与圆相交?有两个交点；弦长|AB|=2r2?d2
rdd=rrd
还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组??Ax?By?C?0?x?y?Dx?Ey?F?022求解，通过解的个数来判断：
（1）当??0时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当??0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当??0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；
5. 两圆的位置关系
2222（1）设两圆C1:(x?a1)?(y?b1)?r1与圆C2:(x?a2)?(y?b2)?r2，
22 圆心距d?(a1?a2)?(b1?b2) ① d?r1?r2?外离?4条公切线； ② d?r1?r2?外切?3条公切线； ③ r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线； ④ d?r1?r2?内切?1条公切线； ⑤ 0?d?r1?r2?内含?无公切线；
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外离 外切 相交 内切 （2）两圆公共弦所在直线方程
22圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0， 22圆C2：x?y?D2x?E2y?F2?0，
则?D1?D2?x??E1?E2?y??F1?F2??0为两相交圆公共弦方程. 补充说明：
① 若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； ② 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.
（3）圆系问题
2222过两圆C1：x?y?D1x?E1y?F1?0和C2：x?y?D2x?E2y?F2?0交点的圆系方程为
x2?y2?D1x?E1y?F1???x2?y2?D2x?E2y?F2??0（???1）
补充：
① 上述圆系不包括C2；
② 2）当???1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦） ③ 过直线
Ax?By?C?0与圆
x2?y2?Dx?Ey?F?0交点的圆系方程为
x2?y2?Dx?Ey?F???Ax?By?C??0
6. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即 ?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1) ?R??R2?1?求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+1)+(y—2)=4的切线，则切线方程为 。
(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x—a)+(y—b)=r，圆上一点为(x0，y0)， 则过此点的切线方程为(x0—a)(x—a)+(y0—b)(y—b)= r
特别地，过圆x2?y2?r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0x?y0y?r2.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(x+7)+(y+8)=9的切线，则切线方程为 。
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7．切点弦
(1)过⊙C：(x?a)?(y?b)?r外一点P(x0,y0)作⊙C的两条切线，切点分别为A、B，则切点弦AB所在直
2线方程为：(x0?a)(x?a)?(y0?b)(y?b)?r
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8. 切线长：
若圆的方程为(x?a)?(y?b)=r，则过圆外一点P(x0,y0)的切线长为 d=(x0?a)2+(y0?b)2?r2．
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C1：x +y —2x =0和圆C2：x +y +4 y=0，试判断圆和位置关系，
若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。
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圆与方程知识点总结
