西南交通大学研究生2011－2012学年第(二)学期考试试卷
课程代码 M11206 课程名称 机械振动与模态分析 考试时间 120分钟
密封装订线 题号 得分
一 10 二 10 三 15 四 20 五 15 六 10 七 10 八 10 九 十 总成绩 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班阅卷教师签字：
1 对于如图所示的单自由度系统，计算在ξ=1和0<ξ<1时，对于初始条件x(0)=0，dx/dt(0)=v0
的响应 (10分)
解：系统微分方程 mx(t)?cx(t)?kx(t)?0特征方程 s2?2??2ns??n?0通解 x(t)?As1e1t?A2es2t
??A1exp??????2?1??nt??A2exp??????2??1??nt?
?A1exp(?2?1?nt)?A2exp(??2?1????nt)ent
临界阻尼ξ=1时： x(t)?(A?tA??t根据初始条件得到：A,1。所以此时系统的响应为2)en1=0，A2=v0
当欠阻尼0<ξ<1时：由初始条件x(0)=0得到相位角φ=0，和幅值A=v0/ωd 得到
订线 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班2 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。(10分)
x???nt解：由 1?e??
x???n?t1?T??enT2e得对数衰减率 ??lnx12??
x???nT?21??2从而有：
???
?2??2??2
间隔任意周期时 x1?ej??nT xj?1得到间隔j个周期后的衰减
??1lnx1jxj?1当j=5时，有
阻尼因子为
3 如图所示是惯性传感器原理图，（1）写出运动方程；（2）写出稳态响应时系统的频响函数；（3）绘制幅频和相频曲线。（10分）
解：运动方程： m?x?r?cx?r?kxr??m?x?
e或
?x?2r?2??nx?r??nxr???x?e
k??c ?n?m2mk 线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班ωn为传感器底座刚性固定时振子的固有频率，ξ为振子的阻尼比。
频响函数：
X2r??j X??22?2?j2????D2ee?n?n ?22?? D2??1??2?2?4?2?2?2?tan?11??2(0??2??)
4如图所示系统，已知m1=m, m2=2m, k1=k2=k, k3=2k,求系统固有频率和振型（20分）。
线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 装 封级密 班
5 如图所示，k1=0,k2=k3,m1=m2=m,m3=2m,求固有频率和振型（15分）。
解：
线 订 装 封 密 名 姓 线 订 装 封 密号 学 线 订 封装级密 班
6试证明振型矩阵关于质量矩阵和刚度矩阵的正交性（10分）。
???Ti?M????j?0?????T????i?j
i?K?j?0?????Ti?M????i?mi?????T?
i?K????i?ki?i?j ?解：
证明：设第i 个与第j个模态向量分别为 ???i,???j, 则有
?K????i??i?M????i ?K????j??j?M????j
用???Tj前乘式（1）有
???Tj?K????i??i???Tj?M????i
用???Ti前乘式（2）有
???T??Ti?K??j??i???i?M????j
因?K?,?M?都是对称阵，对（4－24）取转置，有
???Tj?K????Ti????i?M????j ???Tj?K????i????Tj?M????i
将她们代入式（2）后再与式（4）相减，得
(?Ti??j)???i?M????j?0
当i?j时，?i??j，有
???Ti?M????j?0 1）2）3）4）5） （
（
（
（
（
西南交大研究生机械振动与模态分析期末考试试题解答2012
