课题3.7 函数与方程
【教学目标】
1．结合二次函数的图像，理解函数的零点与方程根的联系。 2．能判断一元二次方程根的存在性及根的个数。
3．根据具体函数的图像，能用二分法求相应方程的近似解。
【教学重点】
函数零点的概念的个数判断；一元二次方程的存在性及个数判断。
【教学难点】
一元二次方程根的存在性及根的个数判断。
【教学方法】
通过复习一元二次方程与二次函数的相关知识，使学生从熟悉的知识中发现新知识，明确方程的根与函数的零点的密切联系。
【教学工具】
电脑、投影仪、课件。
【教学时间】
2课时（90 min）。
【教学过程】
环节 教学内容 1．复习二次函数的相关知识。 2．教师提出问题：一元二次方程x2?2x?3?0的根与二次函数兴趣 导入 设计意图 引导学生思考二次函数与一次二元方程的联系，引出函数零点的概念 y?x2?2x?3的图像之间有什么关系呢？ ?学生思考、计算：方程x2?2x?3?0有两个实数根x1??1，
0)，x2?3；函数y?x2?2x?3的图像与x轴有两个交点(?1，(3，0)。 ?提示：方程x2?2x?3?0的两个实数根就是函数y?x2?2x?3的图像与x轴交点的横坐标。 1．函数零点的概念 一般地，对于函数y?f(x)，我们把使f(x)?0成立的实数x称为函数y?f(x)的零点。 ?说明：函数的零点不是点，而是使这个函数的函数值等于零的x值。 2．函数零点的意义 方程f(x)?0有实数根?函数y?f(x)的图像与x轴有交点 ?函数y?f(x)有零点 引入函数零点的概念，并强调函数的零点不是3．函数零点存在性及个数的判断 点，让学生关二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的零点看??b2?4ac： 注二次函数图像反映的（1）当??0时，方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个不相等的特征，了解函数的零点与实数根x1，x2，对应的二次函数的图像与x轴有两个交点(x1，0)，方程根的关系 (x2，0)，此时二次函数有两个零点，为x1，x2； （2）当??0时，方程ax2?bx?c?0(a?0)有两个相等的实 探索 新知 数根x0，对应的二次函数的图像与x轴有一个交点(x0，0)，此时 二次函数有一个零点，为x0； （3）当??0时，方程ax2?bx?c?0(a?0)没有实数根，对 通过问题，应的二次函数的图像与x轴无交点，此时二次函数无零点。 引导学生结4．利用函数图像判断零点是否存在 合函数图像，?教师提出问题：观察二次函数f(x)?x2?2x?3的图像，计算分析函数在区间端点上f(?2)f(1)和f(2)f(4)，你能发现什么？ 的函数值的?学生阅读教材，思考：f(?2)f(1)?0，f(2)f(4)?0，且符号情况与函数f(x)?x2?2x?3在区间(?2，1)内有零点x??1，在区间函数零点之间的关系 (2，4)内有零点x?3。 ?教师归纳总结：如果函数y?f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续不间断的曲线，且f(a)f(b)?0，那么函数y?f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c?(a，b)，使得f(c)?0，这个c也
就是方程f(x)?0的根。 5．例题解析 例1 证明函数f(x)?2x2?5x?2在区间(1，3)内有零点。 ?分析：利用零点两边图像上点的函数值的乘积的符号来证明零点的存在。 1．教师提出问题：求解方程x3?x2?2x?2?0的根。 ?学生讨论：联系函数的零点与相应方程根的关系，可知函数 通过提问如何求解高次方程的根，引出二分法的概念 概括出二分法求函数零点近似值的步骤，使学生更好地理解二分法的概念 f(x)?x3?x2?2x?2在区间(1，2)内有零点。进一步的问题是——如何求出这个零点？ ?教师引导学生阅读教材，体会“取中点”的方法如何求取方程的解。 2．二分法的概念 对于在区间[a，b]上连续不断、且f(a)f(b)?0的函数y?f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称为二分法。 3．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 继续 探索 （1）确定区间[a，b]，验证f(a)f(b)?0，给定精确度?； （2）求区间(a，b)的中点x1； （3）计算f(x1)； ① 若f(x1)?0，则x1就是函数的零点； ② 若f(a)f(x1)?0，则令b?x1（此时零点x0?(a，x1)）； ③ 若f(x1)f(b)?0，则令a?x1（此时零点x0?(x1，b)）； （4）判断是否达到精确度?：即若|a?b|??，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）～（4）。 ?说明：（1）可用二分法求方程的近似解； （2）由于计算步骤重复且计算量大，通常借助计算器来完成二分法的计算。 ? 例题解析 教师引导学生阅读教材例2和例3，熟悉用计算器完成二分法求解函数的零点或方程的近似解。 学生完成教材中练习3.7.1和3.7.2，教师通过巡视、指导、提强化 问等手段了解学生对新知识的掌握程度，并视课堂反馈情况强调练习 相应的知识点。 通过课堂强化练习，及时检验学习效果，并使学生强化所学新知识 通过对所学知识的回顾，培养学生的归纳总结课堂 小结 教师带领学生回顾和总结本节课的知识点： 1．对数函数的定义。 2．对数函数的图像和性质。
能力 课后 练习 通过课后练习，使学生巩固所学新知识 学生课后完成教材中习题3.7题。
《数学》教案：课题3.7 函数与方程
