第四章 4.2 4.2.2 4.2.3
【基础练习】
1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程是( ) A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0 【答案】D
【解析】把点(1，3)代入切线方程排除A，C，由圆心到切线距离为半径，可知选D． 2．半径为5且与圆x2＋y2－6x＋8y＝0相切于原点的圆的方程为( ) A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0
D．x2＋y2－6x－8y＝0或x2＋y2－6x＋8y＝0 【答案】B
【解析】已知圆的圆心为(3，－4)，半径为5，所求圆的半径也为5，由两圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知选B．
3．已知圆O1的方程为x2＋y2＝4，圆O2的方程为(x－a)2＋y2＝1，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )
A．{1，－1} C．{1，－1,3，－3} 【答案】C
【解析】因为两圆有且只有一个公共点，所以两个圆内切或外切．内切时|a|＝2－1＝1，外切时|a|＝2＋1＝3，所以实数a的取值集合是{1，－1,3，－3}．故选C．
4．(2019年广西玉林月考)若圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0有公共点，则r满足的条件是( )
A．r<5＋1 C．|r－5|<1 【答案】D
【解析】由x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，得(x＋1)2＋(y－2)2＝1，两圆圆心之间的距离为?－1?2＋22＝5.∵两圆有公共点，∴|r－1|≤5≤r＋1，∴5－1≤r≤5＋1，即－1≤r－5≤1，∴|r－5|≤1.
B．r>5＋1 D．|r－5|≤1 B．{3，－3} D．{5，－5,3，－3} B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0
5．圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的公共弦所在直线方程是________．
【答案】x－y＝0
【解析】两圆的方程相减得2x－2y＝0，即x－y＝0，这就是所求公共弦所在直线方程． 6．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是________．
【答案】35－5
【解析】由已知得C1(4,2)，r1＝3，C2(－2，－1)，r2＝2，|C1C2|＝＞r1＋r2＝5，两圆外离，∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝35－5.
7．求圆心为(2,1)且与已知圆x2＋y2－3x＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程． 【解析】设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2， 即x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，① 已知圆的方程为x2＋y2－3x＝0，②
②－①得公共弦所在直线的方程为x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－2)，∴5－4－5＋r2＝0.
∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
8．已知圆M：x2＋y2＝10和圆N：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0，求过两圆交点且面积最小的圆的方程．
【解析】设两圆交点为A，B，则以AB为直径的圆就是所求的圆． 直线AB的方程为x＋y－2＝0. 两圆圆心连线的方程为x－y＝0.
?4＋2?2＋?2＋1?2＝35??x＋y－2＝0，解方程组?得圆心坐标为(1,1)．
??x－y＝0，
圆心M(0,0)到直线AB的距离为d＝2， 弦AB的长为|AB|＝2
?10?2－?2?2＝42，
所以所求圆的半径为22. 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝8.
【能力提升】
9．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至
少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是( )
2
A．
34
C．
3【答案】C
【解析】x2＋y2－8x＋15＝0化成标准方程为(x－4)2＋y2＝1，该圆的圆心为M(4,0)，半径为1.根据题意，只需圆心M(4,0)到直线y＝kx－2的距离d≤1＋1即可，所以d＝44
解得0≤k≤，即k的最大值是.
33
10．如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为( )
|4k－2|
≤2，
B．1 D．2
k2＋1
A．14米 C．51米 【答案】D
【解析】如图，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系．设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，∴圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝51，∴水面宽度|A′B′|＝251米．
B．15米 D．251米
11．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________．
【答案】(x－2)2＋(y－2)2＝2
【解析】曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6,6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝|6＋6－2|
＝52.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小2
52－32
圆的圆心C2在直线y＝x上．如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝2，
2|x0＋x0－2|
则圆C2的半径长为2.设C2的坐标为(x0，x0)，则＝2，解得x0＝2(x0＝0舍去)，所
2以圆心坐标为(2,2)．所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
12．已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)． (1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2交于A，B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程． 【解析】(1)设圆O1、圆O2的半径分别为r1，r2. ∵两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2. ∴r2＝|O1O2|－r1＝
?0－2?2＋?－1－1?2－2＝22－2，
∴圆O2的方程是(x－2)2＋(y－1)2＝12－82. (2)由题意，设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r22.
2－8＝0. 圆O1，O2的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程为4x＋4y＋r2
|0－4＋r22－8|∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为＝224＋420.
22?24－?＝2，解得r22＝4或2??∴圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
2019-2020学年人教A版数学必修2限时规范训练：4.2.2、4.2.3圆与圆的位置关系 直线与圆的方程的应用 Word版
