初二数学《全等三角形》提优卷 一 三角形全等证明中常见的辅助线
一、连线构造全等
1.如图，在R△ABC中，∠A = 90°，点D为斜边BC上一点，且BD = BA，过点D作BC的垂线交AC于点E.求证:点E在∠ABC的平分线上.
2.如图，AB = AE，∠C = ∠D，BC = ED，点F是CD的中点，则AF平分∠BAE，试说明理由.
二、倍长中线构造全等
3.如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线.求证:AB + AC > 2AD.
三、做取构造全算
4.如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，连接CE并延长交AP于点D. 求证:AD + BC = AB.
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四、作量战段构造全等
5.（1）如图1，在△ABC中，AB = AC，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E， 求证:CD = BE.
（2）如图2，在△ABC中，仍然有条件“AB = AC，点D，E分别在AB和AC上.若∠ADC + ∠AEB = 180°，则CD与BE是否仍相等?若相等，请证明；若不相等，请举反例说明.
6.如图，已知AD平分∠BAC，∠BAC + ∠BDC = 180°，若∠C是钝角； 求证:BD = CD.
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二 动态问题中全等三角形
一、平移型
6.如图①，点A，E，F，C在一条直线上，AE = CF，过点E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，若AB = CD.
（1）求证:BD平分EF（即EG = FG）；
（2）若将DE向右平移、将BF向左平移，得到图②所示图形，在其余条件不变的情况下，（1）中的结论是否仍然成立?请说明理由.
二、旋转型
7.如图①，在△AOB和△COD中，OA = OB，OC = OD，∠AOB = ∠COD = 50°. （1）求证:AC = BD，∠APB = 50°；
（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA = OB，OC = OD，∠AOB = ∠COD = a，则AC与BD间的等量关系为 _________ ，∠APB的度数为 _________ .
8.如图，C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，AE交CD于点M，BD交CE于点N，交AE于点O，求证: （1）∠AOB = 120°； （2）CM = CN.
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9.如图①，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直
角顶点O.
（1）在图①中，线段AC，BD的数量关系是 _________ ；直线AC，BD相交成的角的度数是 _________ .
（2）将图①的△OAB绕点O顺时针旋转90°角，在图②中画出旋转后的△OAB. （3）将图①中的△OAB绕点O顺时针旋转一个锐角，连接AC，BD得到图③，这时（1）中的两个结论是否成立?作出判断并说明理由.若△OAB绕点O继续旋转更大的角时，结论仍然成立吗?作出判断，不必说明理由.
三、动点问题
10.如图①，AB = 4 cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC = BD = 3 cm点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为t（s）.
（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t = 1s时，△ACP与△BPQ是否全等?请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系.
（2）如图②，将图①中的“AC⊥AB，BD⊥AB″改为”∠CAB = ∠DBA = 60°，其他条件不变.设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等?若存在，求出相应的x，t的值；若不存在，请说明理由.
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答案与解析
1．【分析】可通过证明Rt△ABE≌Rt△DBE从而得到结论． 【解答】证明：连接BE， ∵ED⊥BC，
∴∠BDE＝∠A＝90°． 在Rt△ABE和Rt△DBE中 ∵
，
∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）． ∴∠ABE＝∠DBE．
∴点E在∠ABC的角平分线上．
2．【分析】连接AC、AD．根据SAS易证△ABC≌△AED，得AC＝AD．根据等腰三角形三线合一性质可证结论． 【解答】解：AF⊥CD
理由如下：如图，连接AC、AD．
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED（SAS） ∴AC＝AD．
∵点F是CD的中点， ∴AF⊥CD；
3．【分析】根据三角形三边关系分别得出BD+AD＞AB、CD+AD＞AC，再根据中线的性质即可得出AD+BD＞（AB+AC）．
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苏科版八年级数学上册第一章《全等三角形》提优卷(含解析)
