解析几何题型
命题趋向：解析几何例命题趋势：
1.注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以填空题的形式出现，每年必考 2.考查直线与二次曲线的普通方程，属容易题，对称问题常以填空题出现
3.考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题 考点透视
一．直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
3．了解二元一次不等式表示平面区域． 4．了解线性规划的意义，并会简单的应用． 5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程． 二．圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质． 2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质． 4．了解圆锥曲线的初步应用．
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
22例1．若抛物线y2?2px的焦点与椭圆x?y?1的右焦点重合，则p的值为
62考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
22解答过程：椭圆x?y?1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2?2px的焦点为(2,0)，则p?4，
62考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.
例2．已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于 考查意图: 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.
?y??x2?3?x2?x?b?3?0?x1?x2??1，进而可求解：设直线AB的方程为y?x?b，由??y?x?b1111出AB的中点M(?,??b)，又由M(?,??b)在直线x?y?0上可求出b?1，
22222∴x?x?2?0，由弦长公式可求出AB?1?1212?4?(?2)?32．
例3．如图，把椭圆x?y?1的长轴
251622AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于P七个点，F是椭圆的一个焦点， 1,P2,P3,P4,P5,P6,P7则PF____________. ?P12F?P3F?P4F?P5F?P6F?P7F?考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆x?y?1的方程知a2?25,?a?5.
2516227?2a∴PF?P2F?P3F?P4F?P5F?P6F?P7F??7?a?7?5?35. 12故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用: (1)椭圆的离心率e＝c∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);
a(2) 双曲线的离心率e＝c∈(1, ＋∞) (e越大则双曲线开口越大).
a结合有关知识来解题.
例4．已知双曲线的离心率为2，焦点是(?4,0)，(4,0)，则双曲线方程为 考查意图:本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程： Qe?c?2,c?4,所以?a?2,b2?12.
a小结: 对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握.尤其对双曲线的焦点位置和双曲线标准方程中分母大小关系要认真体会.
例5．已知双曲线3x2?y2?9,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于 考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝c∈(1, ＋∞) 的有关知识的应用能力.
a解答过程：依题意可知 a?3,c?a2?b2?3?9?23．
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6．已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法. 解:设过点P(4,0)的直线为y?k?x?4?,?k2?x2?8x?16??4x,
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例7．在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为22的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆x2?y2=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.
a29（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. [考查目的]本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力． [解答过程] (1) 设圆C 的圆心为 (m, n)
?m??n, 则????n?2?22,m??2, 解得???n?2. 所求的圆的方程为 (x?2)2?(y?2)2?8 (2) 由已知可得 2a?10 ， a?5．
22椭圆的方程为 x?y?1 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
259 假设存在Q点?2?22cos?,2?22sin?使QF?OF,
????2?22cos??4?2?22sin???2?2?4．
整理得 sin??3cos??22， 代入 sin2??cos2??1．
得:10cos2??122cos??7?0 , cos???122?8??122?22??1．
1010 因此不存在符合题意的Q点.
例8．如图,曲线G的方程为y2?2x(y?0).以原点为圆心，以t(t?0) 为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于 A 与点B. 直线 AB 与 x 轴相交于点C.
（Ⅰ）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式；
（Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a?2,求证：直线CD的斜率为定值.
[考查目的]本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维能力，综合分析问题的能力. [解答过程]（I）由题意知，A(a,2a). 因为|OA|?t,所以a2?2a?t2. 由于t?0,故有t?a2?2a. （1）
由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为x?y?1.
ct又因点A在直线BC上，故有a?2a?1, 将（1）代入上式，得a?cc2ata(a?2)?1,解得 c?a?2?2(a?2).
（II）因为D(a?22(a?2))，所以直线CD的斜率为
kCD?2(a?2)2(a?2)2(a?2)????1，
a?2?ca?2?(a?2?2(a?2))?2(a?2)所以直线CD的斜率为定值.
x2y2例9．已知椭圆E:2?2?1(a?b?0)，AB是它的一条弦，M(2,1)是弦AB的中点，若以点M(2,1)ab为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,?1)，若椭圆离心率e和双曲线离心率e1之间满足ee1?1，求：
（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程. 解答过程：（1）设A、B坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?y1?1，x2?y2?1，二式相减得：
22222222a kABab2b21?(?1)y1?y2(x1?x2)b2??k???1， ????MN22a2?4x1?x2(y1?y2)aba2 所以a2?2b2?2(a2?c2)，a2?2c2， 则e?c?2；
221（2）椭圆E的右准线为x?a?(2c)?2c，双曲线的离心率e1??cce2，
设P(x,y)是双曲线上任一点，则：
22(x?2)?(y?1)|PM| ??2，
|x?2c||x?2c| 两端平方且将N(4,?1)代入得：c?1或c?3，
当c?1时，双曲线方程为：(x?2)2?(y?1)2?0，不合题意，舍去； 当c?3时，双曲线方程为：(x?10)2?(y?1)2?32，即为所求. 小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.
考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算. 典型例题：
22例10．双曲线C与椭圆x?y?1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线.
84(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当uuuruuuruuur8PQ??1QA??2QB，且?1??2??时，求Q点的坐标.
3考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
22解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为x?y?1,
22ab由椭圆x?y?1,求得两焦点为(?2,0),(2,0)，
8422?对于双曲线C:c?2，又y?3x为双曲线C的一条渐近线
?b?3 解得 a2?1,b2?3，
a2y?双曲线C的方程为x??1 32（Ⅱ）解法一：
由题意知直线l的斜率k存在且不等于零.
设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1)，B(x2,y2),则Q(?4,0).
kQA(x1,y1)在双曲线C上， ?16(1??1)2?16?1?0.
k2?1?1同理有：(16?k2)?22?32?2?16?16k2?0.
3uuuruuurQPQ??1QA,?(?4,?4)??1(x1?4,y1).
kk若16?k2?0,则直线l过顶点，不合题意.?16?k2?0,
??1,?2是二次方程(16?k2)x2?32x?16?16k2?0.的两根.
32328??1??2?2??,?k?4，此时??0,?k??2.
k?163?所求Q的坐标为(?2,0).
解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程，y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?4,0).
uuuruuuruuur， 分的比为?1. PA?QQPQ??1QAk由定比分点坐标公式得
下同解法一
解法三：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零 设l的方程：y?kx?4,A(x1,y1),B(x2,y2)，则Q(?4,0).
kuuuruuuruuurQPQ??1QA??2QB， ?(?4,?4)??1(x1?4,y1)??2(x2?4,y2).
kk??4??1y1??2y2， ??1??4，?2??4，
y1y2又?1??2??8， ?1?1?2,即3(y1?y2)?2y1y2.
3y1y232k2y将y?kx?4代入x??1得(3?k2)y2?24y?48?3k2?0. 3Q3?k2?0，否则l与渐近线平行.
2448?3k2.
?y1?y2?,y1y2?3?k23?k22448?3k2.?k??2 ?3??2?3?k23?k2?Q(?2,0).
解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设l的方程：y?kx?4，A(x1,y1),B(x2,y2),则Q(?4,0) uuuvuuuvQPQ??1QA,?(?4,?4)??1(x1?4,y1).
kk4?4.同理 ???4.
1?1?k??kx2?44kx?41x1?k448?1??2?????.
kx1?4kx2?43?k即 2k2x1x2?5k(x1?x2)?8?0. （*） ?y?kx?4又 ?
?2y2?1?x?3?消去y得(3?k2)x2?8kx?19?0.
当3?k2?0时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，3?k2?0.
8k?x?x?12?由韦达定理有： ?3?k2 ??xx??1912?3?k2?代入（*）式得 k2?4,k??2. ?所求Q点的坐标为(?2,0).
例11．设动点P到点A(－l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2， ∠APB＝2θ,且存在常数λ(0＜λ＜1＝,使得d1d2 sin2θ＝λ． （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定λ的范围, 使OM·ON＝0,其中点O为坐标原点．
[考查目的]本小题主要考查直线、双曲线等平面解析几何的基础知识，考查综合 运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．
[解答过程]解法1：（1）在△PAB中，AB?2，即22?d12?d22?2d1d2cos2?， ， 4?(d1?d2)2?4d1d2sin2?，即d1?d2?4?4d1d2sin2??21???2（常数）点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a?21??的双曲线．
22方程为：x?y?1．
1???（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)
高考数学专题解析几何新题型的解题技巧
