数 学 G单元 立体几何
G1 空间几何体的结构 19．、、[2014·安徽卷] 如图1-5所示，四棱锥P - ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.
图1-5
(1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．
19．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.
又因为平面GEFH⊥平面ABCD，
且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD. 又EF?平面ABCD，所以GK⊥EF， 所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
11
从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．
421
再由PO∥GK得GK＝PO，
2
1
所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.
2
由已知可得OB＝42，PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，
GH＋EF4＋8
所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.
22
3．[2014·福建卷] 以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转
一周所得圆柱的侧面积等于( )
A．2π B．π C．2 D．1 3．A [解析] 由题意可知，该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r＝1，高h＝1，
则该圆柱的侧面积S＝2πrh＝2π，故选A.
10．[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的
1
近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式
36
2
V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )
752225A. B. 78157355C. D. 50113
11
10．B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r，底面积为S，则L＝2πr.由题意得L2h≈Sh，
363
225
代入S＝πr2化简得π≈3.类比推理，若V≈L2h时，π≈.故选B.
758
7．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 正三棱柱ABC - A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A - B1DC1的体积为( )
33
A．3 B. C．1 D. 22
7．C [解析] 因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，故AD⊥平面BCC1B1，且AD＝3，11111
所以V三棱锥A- B1DC1＝S△B1DC1×AD＝×B1C1×BB1×AD＝××2×3×3＝1.
3323220．、[2014·重庆卷] 如图1-4所示四棱锥P-ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥
π
底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，
3
1
且BM＝.
2
(1)证明：BC⊥平面POM； (2)若MP⊥AP，求四棱锥P-ABMO的体积． 图1-4 20．解：(1)证明：如图所示，因为四边形ABCD为菱形，O为菱形的中心，连接OB，
ππ
则AO⊥OB.因为∠BAD＝，所以OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1.
36
π1
又因为BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM
23
1?2π312?＝1＋?2?－2×1××cos＝，所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
234
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内的两条相交直线OM，PO都垂直，所以BC⊥平面POM.
π(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝3.
6
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD，知△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
3
又△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.连接AM，在△ABM中，AM2
4
21?2π211
＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝22＋?－2×2××cos＝. ?2?234
由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则
321
PA2＋PM2＝AM2，即a2＋3＋a2＋＝，
44
333
解得a＝或a＝－(舍去)，即PO＝. 222
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB 11
＝·AO·OB＋·BM·OM 221113＝×3×1＋×× 22225 3＝.
8
115 335
所以四棱锥P-ABMO的体积V四棱锥P-×＝. ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝×338216
G2 空间几何体的三视图和直观图 8．[2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1-2所示，则该多面体的体积是( )
图1-2
2347
A. B. C．6 D．7 36
8．A [解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱1123
锥后余下的部分，其体积V＝8－2×××1×1×1＝. 323
11．[2014·北京卷] 某三棱锥的三视图如图1-3所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________．
图1-3
11．22 [解析] 该三棱锥的直观图如图所示，并且PB⊥平面ABC，PB＝2，AB＝2，AC＝BC＝2，PA＝22＋22＝22，PC＝22＋（2）2＝6，故PA最长．
7．[2014·湖北卷] 在如图1-1所示的空间直角坐标系O -xyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)．给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )
图1-2
A．①和② B．③和① C．④和③ D．④和②
7．D [解析] 由三视图可知，该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线)，故正视图是④；俯视图是一个斜三角形，三个顶点坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是②.故选D.
8．、[2014·湖南卷] 一块石材表示的几何体的三视图如图1-2所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
图1-2
A．1 B．2 C．3 D．4
8．B [解析] 由三视图可知，石材为一个三棱柱(相对应的长方体的一半)，故可知能得到的最大球为三棱柱的内切球．由题意可知正视图三角形的内切圆的半径即为球的半径，可
6＋8－10得R＝＝2.
27．、[2014·辽宁卷] 某几何体三视图如图1-2所示，则该几何体的体积为( )
图1-2
ππA．8－ B．8－
42
C．8－π D．8－2π
7．C [解析] 根据三视图可知，该几何体是正方体切去两个体积相等的圆柱的四分之
1
一后余下的部分，故该几何体体积V＝23－×π×12×2＝8－π.
2
3．[2014·浙江卷] 某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是( )
图1-1
A．72 cm3 B．90 cm3 C．108 cm3 D．138 cm3
1
3．B [解析] 此几何体是由长方体与三棱柱组合而成的，其体积为6×4×3＋×3×4
2×3＝90 cm3，故选B.
6．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-1，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm，高为6 cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )
高三数学一轮复习立体几何（解析版）
