：号座 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ ：装 )室教(场考 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ ：级订 班、业专、级年 ：∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ )部线( 系 ：名姓 ：号学 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 试卷评分标准及标准答案 （2013 — 2014 学年度第 2 学期）
《 概率论与数理统计 》课程 (A /B √ 卷) 课程代码 0510212402 考核形式 闭卷考试 考核日期 ２０ 年 月 日 考核时长 １２０ 分钟 命题教师签名 教研室主任签名 主管系领导签名
题 号 一 二 三 四 五 总分 分 值 18 18 27 13 24 １００ 实得分 统分人 核分人 得分 评卷人 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 设A、B互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则必有（ B ）。 A . P(BA)?0 B. P(AB)?0
C. P(AB)?P(A) D. P(AB)?P(A)P(B) 2. 设A，B为两事件，已知P（A）=13，P（A|B）=23，P(B|A)?35，则P（B）=（ A ）。
A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6
D. 0.8
?3. 设随机变量X的密度函数为f?x, 0?x?4,X(x)??8则随机变量Y?4X?8的
??0, 其他.
《 概 率 论 与 数 理 统 计 》（ B 卷），第 1 页，共 6 页
概率密度为（ C ）。
?y?8?yA . f??32, 8?y?24, B. f?, 0?y?4,Y(y)?Y(y)??8
??0, 其他.??0, 其他.?y?8?y?C. f)???128, 8?y?24, D. f??8, 8?y?16,Y(y?Y(y)?8
?0, 其他.??0, 其他.4. 若X, Y相互独立，且E(X)?8, D(X)=9, E(Y)?5, D(Y)=4, 则E(X?2Y)与D(X?2Y)分别为（ D ）
。 A . -2, 1 B. -2, 17 C. -2, 28 D. -2, 25 5. 设X1与X2独立且X1:N(0,1),
X2:?2(n)，则X1X服从（ C ）。
2nA . 服从自由度为n的?2分布 B. 服从自由度为n?1的?2分布 C. 服从自由度为n的t分布 D. 服从自由度为n?1的t分布
6. 样本(X1,X2,X3,X4)取自总体X, E(X)??, D(X)??2, 则有（ B ）。 A .X1?X2?X3?X2?X3?X44是?的无偏估计 B.
X1?X4是?的无偏估计
C.XX2?X?XX22?3?X4?1?X2?X3?4是?的无偏估计 D.?1?4??是?2的无偏估计
得分 评卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 掷一颗骰子出现的点数，写出随机试验的样本空间 S?{1, 2, 3, 4, 5, 6} 。
2. 事件 A 和 B 互不相容 ,
P(A)?0.3, P(AUB)?0.6, 则P(B)? 0.3 。
3. 设随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 k 0.1 则k= 0.4 。 4. 设随机变量X~b(30,0.6)，则E(X)? 18 ，D(X)? 7.2 。5. 设有一组容量为6的样本值如下： 133 126 122 140 149 145 那么样本分位
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p?P{X?Y?0.25}?1?P{X?Y?0.25}中抽取容量为16的样本，
=1-P{?0.25?X?Y?0.25}?0.25X?Y0.25 =1-P{??}0.250.250.25
样本均值
X?5，则总体均值?的置信水平为0.95的置信区间为
(4.51, 5.49)。(z0.025?1.96)
得分 评卷人 三、计算题（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
=2-2?(0.5)=2(1-0.6915)=0.617. 3. 设X求参数p的最大似然估计量。 装~b(1,p)，X1,X2,...,Xn是来自X的一个样本，
： 座号： ? 136.5 。
6. 设总体X服从N(?,1), 其中?为未知参数，从总体X数x0.5∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ 1. 已知二元离散型随机变量(X, Y)的联合概率分布如下表所示：
Y X ?1 1 2 ?1 0.1 0.2 0.3 2 0.2 0.1 0.1 (1) 求X和Y的边缘分布率， (2) 求E(X), E(Y), D(X), D(Y)。
解：(1) 将联合分布表每行相加得X的边缘分布率如下表：
X ?1 2 p 0.6 0.4 将联合分布表每列相加得Y的边缘分布率如下表：
Y ?1 1 2 p 0.3 0.3 0.4 (2) E(X)??1?0.6+2?0.4=0.2, E(X2)=1?0.6+4?0.4=2.2,
D(X)?E(X2)?(E(X))2=2.2?0.04=2.16
E(Y)??1?0.3+1?0.3+2?0.4=0.8, E(Y2)=1?0.3+1?0.3+4?0.4=2.2
D(Y)?E(Y2)?(E(Y))2=2.2?0.64=1.56
2. 求总体N(20,2)的容量分别为10, 40的两独立样本均值差的绝对值大于0.25的概率。（附?(0.5)?0.6915）
解：将总体为N(20,2)的容量分别为10, 40的两独立样本均值分别记为X, Y, 则
X~N(20, 210)，Y~N(20, 240)，则X?Y~N(20?20, 2210?40) 即X?Y~N(0, 0.25)，故所求概率为
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解：设x1,x2,...,xn是来自总体的一个样本。X的分布律为
P(X?x)?px(1?p)1?x,x?0,1.
故似然函数为
L(p)??nnnpxi(1?p)1?xi?p?i?1xi(1?p)n??i?1xi,
i?1而lnL(p)??nni?1xilnp?(n??i?1xi)ln(1?p),
dn(n?令lnL(p)??i?1xi?ni?1xi)dpp?1?p?0, 解得p?1nn?Xi?X， i?1而d2?dp2lnL(p)?0, 所以P的最大似然估计量为p?1n?nXi?X. i?1得分 评卷人 四、综合题（本大题共1小题，每题13分，共13分） 1. 设随机变量X具有概率密度
?1?kx, ?1?x?0,f(x)???1?x, 0?x?1,
??0, 其他.（1）确定常数k；（2）求X的分布函数F(x)； （3）求E(x)。
解：（1）由
???01??f(x)dx?1得??1(1?kx)dx??0(1?x)dx?1, 解得k?1，
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)∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶室教(场考 ：订级 班∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶、业专、级年 ： )线部( 系∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ ：名姓 ：号学
：号座 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ ：装 )室教(场考 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ ：订级 班、业专、级年 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶： )部线( 系 ：名姓 ：号学 ∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶∶ ?1?x, ?1?x?0,则X的概率密度f(x)???1?x, 0?x?1,
??0, 其他.??0, x?-1?（2）X的分布函数为 F(x)????x?1(1?x)dx, ?1?x?0,
?0???1(1?x)dx +?x0(1?x)dx, 0?x?1,??1, x?1.??0, x?-1?x2?x?1, ?1?即 F(x)???22x?0,?2 ??x?x?1, 0?22?x?1,?1, x?1.（3）E(X)????01??xf(x)dx???1x(1?x)dx??0x(1?x)dx?0.
得分 评卷人 五、应用分析题（本大题共2小题，每题12分，共24 分）
1. 有10盒种子，其中第1盒发芽率为90％，其他9盒为20％。 随机选取其中一盒，从中取出1粒种子， 试分析 （1）该种子能发芽的概率；
（2）若该种子能发芽，则它来自发芽率高的第1盒的概率是多少？ 解：记事件Bi：挑到第i盒种子； A：该种子能发芽。 由题设得：P(Bi)?10%， P(AB1)?90%，
P(ABi)?20%, i?2,3,...,10.
（1）由全概率公式得
P(A)?P(B101)P(AB1)??P(Bi)P(ABi?2i)
?10%?90%?9?10%?20%?27%(或0.27).（2）由贝叶斯公式得
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P(BB1)P(AB1)1A)?P(P(B10?10%?90%?11)P(AB1)??P(Bi)P(ABi)27%3. i?2
2. 在保险公司里有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在1年终每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交120元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取20000元赔偿金。求： (1)保险公司亏本的概率；
(2)保险公司获利不少于100000元的概率。
15（附?e?55k10=0.999931，?0k!?e?55k?0.986305） kk?0k!解：（1）以“年”为单位来考虑，在某年的1月1日，保险公司总收入为 250?012?0300元00. 0 设1年中死亡的人数为X，则X~b(2500,0.002), np?5，可以泊松分布近似，则保险公司在这一年中应付出20000X（元），要使保险公司亏本，则必须
20000X?300000,
即 X?15. 因此，
P{保险公司亏本}?P{X?15}
?1?P{X?15}?1??15C2500k(0.002)k?(0.998)2500?k
k?0?1??15e?55k?k?0k!0.000069.（2）P{保险公司获利不少于100000}?P{300000-20000X?100000}
?P{X?10}??10C2500k(0.002)k?(0.998)2500?k k?0??10e?55k?0.986305.k?0k!即保险公司获利不少于100000元的概率在98%以上。
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概率论与数理统计试卷B卷答案
