各类型不等式举例 ［例1］解下列不等式：
（1） （-3对2） （4\尸（欢1）3（欢3）W0. ⑵
9 — x
分析:根据题型特点，可用“数轴标根法”求解.
解:⑴I不等式（-3计2） （4计2）②（尸1）③（尸3） <0
2 1
?.?方程（-3计2） （4对2）2（尸1）3（尸3）=0的根为-, — ,1,3,这些根把数轴分为5个区间
3 2
（如图所示）.
故原不等式的解集为：
1 2
［x\\所-一或一WE1 或 *33}.
2 3
x(x - 3) 9-x
2
>0
X(X + 3) > 0 [、 r [ ? < <=> x < 一 3 或x > OHx。3
\
所以原不等式的解集为Ul x<-3或且济3} .
评述：（1）解高次不等式时，如何“画线”是关键环节，因此，要十分重视“tai线”的方 法一般地，在“I曲线”时应注意以下两点:①注意观察「（0最高次项的系数，若系数为正，则 从右上方开始切入，依次穿过各点;否则，从右下方开始切入，如例1中（1）题;②穿点时，遇到 根对应的因式的指数为偶数时,则转弯;指数为奇数时，则直穿过轴.如例1中⑴题.
（2）基本型不等式是将原不等式右边化为0,左边进行因式分解,将恒不为零的二次因 式约去，同时保持各因式中x的系数为正号，对于多重根的因式可先将偶次因式约去，单独考 虑重根是否为不等式的解，如例1中（2）题.
［例2］解下列不等式：
（1）— x~ + V6x — > 3 ⑵ V5-4x-x > x
(3)侦—6尤 + 4 < x + 2
分析：求解无理不等式必须首先有理化，而这里作等价变换的依据是当ci>O,b^O 时,必5〉眄心）,对于不具备这一条件的，可通过讨论等价地转化为两个不等式组.在 解题时还要注意原不等式未知量的取值范围.无理不等式解法的基本模型如下：
2
g(x)>0 fM >
g ⑴
fM > o
⑵ 77w < g(') d < sM >0 /w<[g(x)]g(x)2 0 ⑶ 77w > g(o <=> fM > o f(x) > [g ⑴]2
g(x) <0
2
/?> o
⑷ f(x) ?』g(x) < 0
<=>
⑸心-』g(x) >0<=>
g(x) >
0/(A) <0 或g(x) = 0
U(Q z o
其中广(x),g(x)均为有理式.
[9-x >0
解：(1)依据不等式左边可知x须满足」 一
2 >0
解之得:0WxW3
原不等式等价于奴_必>3-j9-]2 > 0
2
?6x-x >(3-V9-x) =18-6V9-x -x
22222
<=>』9- / >3-x>0<^>9-x > (3-x)
?X2-3X<0<=>0 故原不等式的解集是U|0 [x < 0 (I ”5-4工一必 >o 或(]1)」 ， 2 ,。 l5-4x-x >0 5-4X-X2>X2 i f22 x>Q x>0 不等式组(T)? -5 2X2+4X-5<0 0 E i 应/ / I V14 —1 ------ 《X V — 1 --- 2 2 ?0< x < -1 + 2 x < 0 不等式(II)? J -5 -5 < x < 1 综上可知原不等式的解集为: JTX J14 {x|-5Wx<0} U {x| OWxWT + ----- } = {x| -5WxWT + -- }. 2 2 (3) 原不等式等价于不等式组 2X2-6X + 4>0 ? x + 2 > 0 2必—6x + 4 < (x + 2尸 X > 2或尤< 1 ? < x > -2 尸_10*0 U> {x|0〈虹 1 或 2Wx<10} 故原不等式的解集为bdOGW 1或2W?10}. 评述:这几个例题均是套用基本无理不等式的模型解法，但要在套用模型的训练中，加深 理解解无理不等式的三点原则，即一是无理化有理，二是注意不等式的定义域，三是注意运算 条件是否满足. ［例3］解下列不等式： ⑴ 3^<(— 27 ⑵ 16-2+3<0 2+2X 3 (3) lg(V-3*-4)Tg(x+5) Nlg2 (4) 1%坤1硬+7>。 分析:解指数与对数不等式的基本思路大体是： ①E以考虑把不等式的两边化成同底数的幕或同底数的对数的形式，然后再根据指数函 数、对数函数的单调性?把它化为代数不等式，但要注意对数不等式的真数大于零这一隐含条 件.其解法模型是： 当,>1 时,JW5(g>g(x) 1 Ognf( X)> ( X) g(Q> 当。〈水1时,虾\=f3 。 fM > o f(x) ②可以考虑令不等式中某一个简单的指数式或对数式为*,把原不等式转化成关于*的 代数不等式，然后先对于y解不等式,再通过y来求出原不等式的解集. 对于例3(1)中，右边可化为3T匚再运用指数函数芹3'的单调性,将不等式转化为关于x 的二次不等式.对于例3(2)中,可考虑尸4',将原不等式转化为关于y的二次不等式.对于例 3(3)中要注意Z-3^-4>0及x+5〉0,为简化运算可将lg(x+5)移至不等式的右边.再运用对数 运算法则及单调性.对于例3(4)中，要化为同底的形式，再考虑运用换元法. 解：(1)原不等式等价于 V3>1 ? ?x-2x~'3<.3-3x 即有入2+矛-6<0=> {x| -3〈次2} 故原不等式的解集为{*|-3〈次2}. (2) 原不等式等价于4?x-4 - 4,+3<0. 令 尸4',则有4j+3<0=> 1<火3 即 1<4\\3 .*.0 故原不等式的解集是{*10 JX2-3X-4>2(X + 5) [x + 5 > 0 [x > 7或x < -2 <=>〈 [x > -5 U>-5〈xW-2 或 x>7 故原不等式的解集为或x，7}. Q (4) 原不等式等价于1您|尸+7>0 5 logy 2 令y=] og j x,则原不等式转化为 2 8 v +7v-8 : 厂一+7>0 <=> ----- --- >0 <=>yCr+8)(厂1) >0 <=^-8< K0 或 y>\\ y y 2 即-8<16>g [ KO 或 log ] x>\\ 2 2 <=> KK256 或 2 故原不等式的解集是UIKX256或0 2 评述:解指数不等式的思路是将其等价地转化为代数不等式，转化的方法主要有①利用 指数函数的单调性;②利用换元法将原不等式转化为代数不等式.解对数不等式的关键是将 其等价地转化为代数不等式，转化过程中要特别注意真数大于零底数大于零且不等于1这
[整理][全套]高二第六章不等式全部教学设计及学习指导--各类型不等式举例.doc
