函数的奇偶性练习题
1、判断下列函数的奇偶性。 （1）f(x)?(x?1)1?x1?x（非奇非偶）
lg(1?x2)（2） f(x)?|x?2|?2（奇）
（3）（4）
f(x)?3?x?x?3（奇偶）
22f(x)?x?|x?a|?2（a=0，偶；a≠0，非奇非偶）
22x?1（5）f(x)?x（奇）
2?12y?lg(x?1?x)（奇） （6）
（7）f(x)?1?cosx?sinx
1?cosx?sinx（8）
f(x)?1?x2?x?11?x?x?12(奇)
332、设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对于?x?R，都有f(?x)??f(?x)22成立。
（1）证明：f(x)是周期函数，并指出周期。
33?f(?x)??f(?x),f(?x)?f(x)22
3333?f(x?3)?f[(x?)?]??f[?(?x)]??f(?x)?f(x)2222f(x)是周期函数，且T?3
所以，
（2）若f(1)?2，求f(2)?f(3)的值。-2
3．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x??时，f(x)??x?x，则f(?)?（ A ）
A．?? B．?? C．１
D．３
4．函数f(x)的定义域为???,1???1,???，且f(x?1)为奇函数，当x?1时，
?f(x)?2x2?12x?16，则直线y?2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是（ D ）
A．1 B．2 C．4
解：
f(x+1)是奇函数
所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0 f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x) 所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0 则当 x>1时 （1） 2x2-12x+16=2 x2-6x+7=0
x=3±√2 两根都大于1
即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2 （2） 2x2-12x+16=-2 x2-6x+9=0 x=3
所以 x=3时，y=-2
(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）
即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1
所以 ，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是 3+√2+3-√2+(-1)=5
D．5
5.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )
①偶函数的图象一定与y轴相交 ②奇函数的图象一定通过原点 ③偶函数的图象关于y轴对称
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R） A.1 B.2 C.3 D.4
6.设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，
f(x)?log1(1?x)，则函数f(x)在(1,2)上( D )
2A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0 C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0 7．已知函数y?f(x)，x?R，有下列4个命题：
①若f(1?2x)?f(1?2x)，则f(x)的图象关于直线x?1对称； ②f(x?2)与f(2?x)的图象关于直线x?2对称；
③若f(x)为偶函数，且f(2?x)??f(x)，则f(x)的图象关于直线x?2对称； ④若f(x)为奇函数，且f(x)?f(?x?2)，则f(x)的图象关于直线x?1对称. 其中正确命题的个数为 （C ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．
②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．
③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．
④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．
解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）
由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称 即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题． ②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]
由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，
又y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动2个单位而得到， ∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．
③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x） ∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．
④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2）， ∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题． 故选C．
8.设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(2?x)??f(x),当0?x?1时，f(x)?x，则f(7.5)等于（ B ）
A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5
?x＋3?
?的9．设f(x)是连续的偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(x)＝f?
?x＋4?所有x之和为( C ) A．－3 B．3 C．－8 D．8 10.已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x?1)?1?f(x)，则f(2011)等于( C )
1?f(x)11
A．2 B．－3 C．－ D.
23
11
[解析] 由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－，f(4)＝，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)
231＋f?x＋1?1
(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2011)＝f(3)＝－.[点评] 严格推证如下：f(x＋2)＝
21－f?x＋1?1
＝－，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)．即f(x)周期为
f?x?
2－x11.函数y＝log2的图象( A )
2＋xA．关于原点对称 B．关于直线y＝－x对称 C．关于y轴对称 D．关于直线y＝x对称
12.已知f（x）是奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=lg（x）的表达式是__________.
解析：当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1），∴f（x）=－f（－x）=－lg
1，那么当x∈（－1，0）时，f1?x1=lg（1－x）.1?x答案：lg（1－x）
13.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x＞0时，f(x)＝2008x＋log2008x，则方程f(x)＝0的实根的个数为 3 .
14．若y＝（m－1）x2＋2mx＋3是偶函数，则m＝_________．
0解析：因为函数y＝（m－1）x＋2mx＋3为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），即（m－1）（－x）2＋2m（－x）＋3＝（m—1）x2＋2mx＋3，整理，得m＝0．(
15.已知函数f(x)定义域为R，则下列命题：
2
①y=f(x)为偶函数，则y=f(x+2)的图像关于y轴对称； ②y=f(x+2)为偶函数，则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；
③若函数f(2x+1)是偶函数，则f(2x)的图像关于直线x=1/2对称；
④若f(x-2)=f(2-x),则y=f(x)的图像关于直线x=2对称；
⑤y=f(x-2)和y=f(2-x)的图像关于x=2对称。其中正确的命题序号为_______． ②③⑤
16．定义在???,???上的偶函数f?x?满足f?x?1???f?x?，且在??1,0?上是增函数，下面是关于f(x)的判断：
1①f?x?关于点P(,0)对称 ②f?x?的图像关于直线x?1对称；
2③f?x?在[0，1]上是增函数； ④f?2??f?0?.
其中正确的判断是________________(把你认为正确的判断都填上)(1)(2)(4) 17.关于y=f(x)，给出下列五个命题：
①若f(-1+x)=f(1+x)，则y=f(x)是周期函数； ②若f(1-x)= -f(1+x)，则y=f(x)为奇函数；
③若函数y=f(x-1)的图像关于x=1对称，则y=f(x)为偶函数； ④函数y=f(1+x)与函数y=f(1-x)的图像关于直线x=1对称； ⑤若f(1-x)=f(1+x)，则y=f(x)的图像关于点（1,0）对称； 其中真命题的序号是_______．①③
18. 设函数y?f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x?2对称，已知x?[?2,2]时，函数f(x)??x2?1，则x?[?6,?2]时，
f(x)? .
f(x)??(x?4)2?1
函数奇偶性练习题及答案
