1、 行列式的展开定理：（任意某行或某列所有元素和对应代数余子式相乘后求和。） 例：已知3阶行列式|A|中第3列元素依次为3，1，0，它们的余子式依次
为4，2，-9，求|A|=10
２、行列式的性质：
式相等,即D?DT. 1)行列式与它的转置行列 2)互换行列式的两行(列),行列式变号.
3)如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式 等于零 . 4)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同 k,等于用数 k 乘此行列式.一数
３、矩阵的运算：
5)行列式中某一行 (列) 的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.6)行列式中如果有两行 (列) 元素成比例,则此行列式为零.7)若行列式的某一列 (行) 的元素都是两数之和,则此行列式等于两个行列式之和.8)把行列式的某一列 (行) 的各元素乘以同一数,然后加到另一列 (行) 对应的元素上去,行列式的值不变.（１）相加 ①条件：同型 ②规则：对应元素相加
（２）相乘 ①条件：列数与行数相同矩阵 （mｘs 与s x n mｘn）
s②规则： c?ab?ab???ab?aikbkjiji11ji22jissj（３）规律 k?1?
A(B?C)?AB?AC,(B?C)A?BA?CA;(AB)C?A(BC);EmAm?n?Am?n?Am?nEn.?(AB)?(?A)B?A(?B),(其中?为数); 注意：运算次序不能颠倒 例如?A?B?? A?B??A2?B2（ⅹ） ４、转置矩阵
（１）定义：由各行对换成相应的列所构成的矩阵（ＭｘＮ ＮｘＭ）
（２） T
５、伴随矩阵
(AT)?A;T(A?B)(?A)TT?AT?BT;AT??;(AB)?BTAT.??随矩阵具有重要性质:A?A?AE.AA
（１）定义：由行列式｜Ａ｜中各行元素对应代数余子式对换成相应的列所构成的方阵
（２）性质：
６、可逆矩阵及其性质
若矩阵,则（１）求法： ①待定系数法 ＡＡ＝ＡA可逆Ａ＝Ｅ②公式法 A－１
－１
?1?A.A?③初等变换（Ａ｜Ｅ）∽（Ｅ｜Ａ
（２）性质：
－１
(A?1)?A;(?A)??1?11）
??1?A(??0);(AT)?1?(A?1).T（3）利用可逆矩阵证明或解矩阵方程（注意：矩阵方程变形时不能改变矩阵的性质 ）
2-1
例如：矩阵A满足：A-3A-2E=0， 求A
变形时不能出现矩阵与数的加法运算： 比如：A(A-3)=2E是错误运算。
７、方阵行列式性质： 设?为数,A,B为n阶方阵,则 ?A??nA; AB?AB.
例：
? A?1矩阵A可逆,则? .A解：由 A知： A*=|A|A-1 ①
因为 AA-1 = E 则 | AA-1 | =|E| 即有 |A||A-1|=|E| ② 又 |A-1|= -2 |E|=1 把其带入②知 |A|=-1/2 ③ 把③带入①知： A* = -1/2 A-1
8、向量组秩 （ 对应矩阵初等行变换为阶梯形矩阵后的阶梯数） 9、向量组相关性 （向量组秩小于向量个数则有关，等于则无关）
例如：已知向量a1=(１，１，２) a2=(２，３，１ ) a3=(３，２，Ｃ)
（１）线性相关：ｃ＝７ （２）线性无关：不等于７
10、向量组的加法运算 （满足矩阵相加运算规则）
设α=(2，1，-2)，β=(1，2，3)，则求2α－3β=（１，－４，－１３）
?x1?a11y1?a21y2＋a31y3?x?ay?ay＋ay11、线性方程组的矩阵形式和向量形式表示 例如:?2121222323
?x?ay?ay＋ay?3131232333?x1??a11a12a13??y1???????A??a21a22a23?X??x2?Y??y2?（１）如果： 则矩阵表示形式
?x? ?aaa??y??313233??3??3?（２）如果：a1=(a11 a12 a13)
T
X?ATY
a2=(a21 a22 a23 )T a3=(a31 a32 a33)T
则向量表示形式：ｘ＝a1ｙ１ ＋ 12、线性方程组解的判断
a2ｙ１
＋
a３ｙ３
（１）齐次：有零解条件是系数行列式不等于０. 例如
求：ｐ为何值时有非零解（ｐ＝１）并确定其一个基础解系.
（２）非齐次：有唯一解条件是系数行列式不等于０ ，一般都是根据（系数矩阵的秩）
与（系数矩阵和常数列组成的增广矩阵秩）的大小判断
①Ｒ（Ａ）≠Ｒ（Ａ｜ｂ） 无解
②Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ｜ｂ）＜ｎ（未知量个数） 通解（无穷多个解） ③Ｒ（Ａ）＝Ｒ（Ａ｜ｂ）＝ｎ（未知量个数） 唯一解
例如：给定线性方程组
?x1?x2?x3?4??x1??x2?x3?3?x?2?x?x?423?1,
(1)问λ在什么条件下,方程组有解?又在什么条件下方程组无解? (2)当方程组有解时,求出通解.
当方程组有无穷多解．
说明：不管是齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，其解都可以用初等行变换
的方法，把系数矩阵或其增广矩阵变换为行最简形矩阵，然后写出解向量形式求基础解系。
13、向量的内积 ( 对应元素乘积之和，是数)
例如：已知向量α=(１，1，0，２)T，β=(－1 , 2, 1, ０ )T, 求［αβ］＝１ 14、单位向量 （原向量各成分平方和后所构成的向量）
例如：向量?=Ｋ(-3, 1, 5, -1 )为单位向量，求Ｋ＝１╱６
15、矩阵的特征值和特征向量求法 (A-入E)=0 | A-入E|=0 （特征方程）
?0?1已知矩阵A=????2106???3?3??，的一个特征值为１.
108??2???求（１）对应的特征向量：??1?（２）｜Ｅ－Ａ｜＝０
???2?
线性代数复习资料
