微专题11 与平面向量相关的最值问题
与平面向量共线有关的最值问题是高考的热点与难点，常以中档小题、压轴小题出现．解决此类问题需要先根据题中的向量关系得出未知元之间的关系式，再求出目标的最值．本专题主要研究平面向量线性表示背景下的最值问题，并在解决问题的过程中体会数学思想方法的灵活运用.
→→
例题：如图，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，C为弧AB上的一动点，若OC＝xOA＋→
yOB(x，y∈R) ，求x＋4y的取值范围．
π→→→
变式1设点A，B，C为单位圆上不同的三点，若∠ABC＝，OB＝mOA＋nOC(m，n
4∈R)，则m＋n的最小值为________________．
变式2如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆→→→
弧上的任意一点，设向量AC＝λDE＋μAP(λ，μ∈R)，求λ＋μ的最小值．
串讲1已知△ABC是边长为3的等边三角形，点P是以A为圆心的单位圆上一动点，→2→1→→
点Q满足AQ＝AP＋AC，则|BQ|的最小值为________________．
33
串讲2已知三角形ABC中，过中线AD的中点E任作一条直线分别交边AB，AC于M，→→→→
N两点，设AM＝xAB，AN＝yAC(xy≠0)，求4x＋y的最小值．
(2017·新课标Ⅲ卷)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与→→→
BD相切的圆上，若AP＝λAB＋μAD，求λ＋μ的最大值．
→→
(2018·洛阳三模)在△ABC中，点P满足BP＝2PC，过点P的直线与AB，AC所→→→→
以直线分别交于点M，N，若AM＝mAB，AN＝nAC(m＞0，n＞0)，求m＋2n的最小值．
答案：3.
1→2→→→→→→→2→→
解析：因为BP＝2PC，所以，AP＝AB＋BP＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC，4分
3331→2→→→→→→
又因为AM＝mAB，AN＝nAC，所以AP＝AM＋AN，7分
3m3n12
由于M，P，N三点共线，所以＋＝1，9分
3m3n
12?1?2n2m11
＋＝1＋4＋＋?≥?5＋2所以m＋2n＝(m＋2n)?mn?3??mn?3?3
2n2m?·＝3，12分 mn?
当且仅当m＝n＝1时，等号成立，所以m＋2n的最小值为3.14分
微专题11 与平面向量相关的最值问题
